関数が \(x=a\) で連続でないとき、その点に不連続があります。連続であるためには次の3条件がすべて必要です。
- \(f(a)\) が存在する。
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) が存在する。
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) である。
どの条件が失敗するかによって、不連続の種類が変わります。
1. 除去可能不連続：穴
次を考えます。
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
\(x\ne1\) では式は \(x+1\) に簡単になりますが、元の関数は \(x=1\) で定義されません。グラフは直線 \(y=x+1\) から点 \((1,2)\) を除いたものです。
極限は存在し、
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
ですが \(f(1)\) は存在しません。\(f(1)=2\) と定義すれば不連続を除去できます。
2. 跳躍不連続
次の関数では、
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
片側極限は
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
です。両方とも有限ですが一致しないため、両側極限は存在しません。グラフはある高さから別の高さへ跳びます。
3. 無限不連続
\(h(x)=1/(x-2)\) は \(x=2\) の近くで限りなく大きくなり、
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
です。直線 \(x=2\) は垂直漸近線で、この点に無限不連続があります。
4. 振動不連続
除去できない不連続が必ず跳躍や垂直漸近線になるわけではありません。
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
は \(x\to0\) で無限回振動します。値が1つの数にも1つの無限大にも近づかないため、極限は存在しません。
5. 確実な分類手順
- \(x=a\) で式が定義されるか確認する。
- 左極限と右極限を別々に計算または推定する。
- 両者が一致して有限なら、その共通の極限と \(f(a)\) を比較する。
- 有限だが一致しないなら跳躍不連続とする。
- どちらかが発散するなら無限不連続とする。
- 値が収束せず振動するなら振動不連続とする。
6. グラフで確認するときの注意
標本間隔が粗いと、グラフが狭い不連続をまたいで点を結ぶことがあります。疑わしいx値の近くを拡大し、解析的な極限で確認してください。除去可能な穴は白丸を追加しないと見えにくいことがあります。垂直漸近線は、傾きが大きいだけの有限な部分と区別する必要があります。