Há uma descontinuidade em \(x=a\) quando a função não é contínua nesse ponto. A continuidade exige simultaneamente:
- \(f(a)\) existe;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) existe;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Falhas diferentes produzem tipos diferentes de descontinuidade.
1. Descontinuidade removível: um furo
Considere
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Para \(x\ne1\), a expressão se simplifica para \(x+1\), mas a função original não está definida em \(x=1\). O gráfico é a reta \(y=x+1\) com um furo em \((1,2)\).
O limite existe:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
mas \(f(1)\) não existe. Definir \(f(1)=2\) removeria a descontinuidade.
2. Descontinuidade de salto
Para
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
os limites laterais são
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Como os limites laterais são finitos, mas diferentes, o limite bilateral não existe. O gráfico salta de uma altura para outra.
3. Descontinuidade infinita
Para \(h(x)=1/(x-2)\), a função cresce em módulo sem limite perto de \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
A reta \(x=2\) é uma assíntota vertical, e a função tem ali uma descontinuidade infinita.
4. Descontinuidade oscilatória
Nem toda descontinuidade não removível é um salto ou uma assíntota vertical. A função
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
oscila infinitas vezes quando \(x\to0\). O limite não existe porque os valores não se aproximam de um único número nem de um único infinito.
5. Procedimento confiável de classificação
- Verifique se a fórmula está definida em \(x=a\).
- Calcule ou estime separadamente os limites pela esquerda e pela direita.
- Se forem iguais e finitos, compare o limite comum com \(f(a)\).
- Se forem finitos e diferentes, classifique como salto.
- Se algum lado for ilimitado, classifique como descontinuidade infinita.
- Se os valores oscilarem sem convergir, classifique como descontinuidade oscilatória.
6. Cuidados ao interpretar o gráfico
Um gráfico pode ligar pontos através de uma descontinuidade estreita se a amostragem for muito grosseira. Amplie a região do valor suspeito de x e use limites analíticos para confirmar. Um furo removível pode ser difícil de ver sem um marcador de ponto aberto. Uma assíntota vertical deve ser distinguida de um trecho muito inclinado, porém finito.
Use a Calculadora Gráfica para comparar os exemplos. Para construir os ramos passo a passo, consulte funções definidas por partes; para assíntotas verticais, veja o guia de assíntotas.