Hàm số gián đoạn tại \(x=a\) khi nó không liên tục tại đó. Tính liên tục đòi hỏi đồng thời ba điều kiện:
- \(f(a)\) tồn tại;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) tồn tại;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Mỗi kiểu vi phạm tạo ra một dạng gián đoạn khác nhau.
1. Gián đoạn có thể khử: một lỗ hổng
Xét
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Với \(x\ne1\), biểu thức rút gọn thành \(x+1\), nhưng hàm ban đầu không xác định tại \(x=1\). Đồ thị là đường thẳng \(y=x+1\) có một lỗ hổng tại \((1,2)\).
Giới hạn tồn tại:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
nhưng \(f(1)\) không tồn tại. Nếu định nghĩa thêm \(f(1)=2\) thì gián đoạn được khử.
2. Gián đoạn bước nhảy
Với
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
các giới hạn một phía là
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Vì hai giới hạn một phía hữu hạn nhưng không bằng nhau, giới hạn hai phía không tồn tại. Đồ thị nhảy từ độ cao này sang độ cao khác.
3. Gián đoạn vô cực
Với \(h(x)=1/(x-2)\), hàm số tăng không bị chặn gần \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
Đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng và hàm số gián đoạn vô cực tại đó.
4. Gián đoạn dao động
Không phải mọi gián đoạn không thể khử đều là bước nhảy hoặc tiệm cận đứng. Hàm
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
dao động vô hạn lần khi \(x\to0\). Giới hạn không tồn tại vì các giá trị không tiến tới một số duy nhất hay một vô cực duy nhất.
5. Quy trình phân loại đáng tin cậy
- Kiểm tra công thức có xác định tại \(x=a\) hay không.
- Tính hoặc ước lượng riêng giới hạn trái và giới hạn phải.
- Nếu chúng bằng nhau và hữu hạn, so sánh giới hạn chung với \(f(a)\).
- Nếu chúng hữu hạn nhưng khác nhau, phân loại là gián đoạn bước nhảy.
- Nếu một trong hai phía không bị chặn, phân loại là gián đoạn vô cực.
- Nếu các giá trị dao động không ổn định, phân loại là gián đoạn dao động.
6. Lưu ý khi đọc đồ thị
Đồ thị có thể nối các điểm qua một gián đoạn hẹp nếu bước lấy mẫu quá thưa. Hãy phóng to gần giá trị x nghi ngờ và dùng giới hạn giải tích để xác nhận. Lỗ hổng có thể khử thường khó nhìn nếu không thêm dấu điểm rỗng. Cần phân biệt tiệm cận đứng với một đoạn dốc mạnh nhưng vẫn hữu hạn.
Dùng Máy tính vẽ đồ thị để so sánh các ví dụ. Để dựng từng nhánh theo từng bước, hãy xem hàm số từng đoạn; để tìm tiệm cận đứng, hãy xem hướng dẫn về tiệm cận.