Si ha una discontinuità in \(x=a\) quando la funzione non è continua in quel punto. La continuità richiede tutte e tre le condizioni:
- \(f(a)\) esiste;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) esiste;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Violazioni diverse producono tipi diversi di discontinuità.
1. Discontinuità eliminabile: un buco
Considera
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
Per \(x\ne1\), l’espressione si semplifica in \(x+1\), ma la funzione originale non è definita in \(x=1\). Il grafico è la retta \(y=x+1\) con un buco in \((1,2)\).
Il limite esiste:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
ma \(f(1)\) non esiste. Definire \(f(1)=2\) eliminerebbe la discontinuità.
2. Discontinuità di salto
Per
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
i limiti laterali sono
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
Poiché i limiti laterali sono finiti ma diversi, il limite bilatero non esiste. Il grafico salta da un’altezza all’altra.
3. Discontinuità infinita
Per \(h(x)=1/(x-2)\), la funzione cresce illimitatamente in valore assoluto vicino a \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
La retta \(x=2\) è un asintoto verticale e la funzione presenta una discontinuità infinita in quel punto.
4. Discontinuità oscillatoria
Non ogni discontinuità non eliminabile è un salto o un asintoto verticale. La funzione
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
oscilla infinite volte quando \(x\to0\). Il limite non esiste perché i valori non si avvicinano né a un unico numero né a un unico infinito.
5. Una procedura affidabile di classificazione
- Controlla se la formula è definita in \(x=a\).
- Calcola o stima separatamente i limiti sinistro e destro.
- Se coincidono e sono finiti, confronta il limite comune con \(f(a)\).
- Se sono finiti ma diversi, classifica un salto.
- Se uno dei lati è illimitato, classifica una discontinuità infinita.
- Se i valori oscillano senza stabilizzarsi, classifica una discontinuità oscillatoria.
6. Attenzioni nella lettura del grafico
Un grafico può unire punti attraverso una discontinuità stretta se il campionamento è troppo grossolano. Ingrandisci la zona del valore x sospetto e usa i limiti analitici per confermare. Un buco eliminabile può essere difficile da vedere senza un marcatore vuoto. Un asintoto verticale deve essere distinto da un tratto molto ripido ma finito.
Usa la Calcolatrice grafica per confrontare gli esempi. Per costruire i rami passo per passo, consulta le funzioni definite a tratti; per gli asintoti verticali, leggi la guida agli asintoti.