Una funzione definita a tratti usa formule diverse in parti differenti del proprio dominio. La difficoltà principale non consiste nel disegnare ogni formula, ma nell’applicare l’intervallo corretto a ciascun ramo e nell’indicare se i punti di confine sono inclusi.
Metodo rapido: aggiungi un oggetto funzione per ogni ramo, limita ogni oggetto all’intervallo indicato e contrassegna gli estremi aperti o chiusi quando il grafico deve mostrare esplicitamente l’inclusione.
1. Leggi la definizione ramo per ramo
Considera
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
Il primo ramo è la metà sinistra della parabola \(y=x^2\). Il secondo è la parte della retta \(y=2x+1\) che inizia da \(x=0\). Disegnare l’intera parabola e l’intera retta sarebbe errato, perché ogni regola è valida soltanto nel proprio intervallo.
2. Crea un grafico limitato per ogni ramo
- Apri la Calcolatrice grafica OnlineGraphing.
- Aggiungi la prima funzione e inserisci
x^2. - Usa i controlli di intervallo o condizione per conservare soltanto \(x<0\).
- Aggiungi una seconda funzione e inserisci
2*x+1. - Limita il secondo ramo a \(x\ge0\).
Se la modalità grafica corrente accetta direttamente una condizione, usa le stesse disequazioni. In caso contrario, oggetti separati con restrizioni di dominio sono più chiari e facili da modificare.
3. Gestisci correttamente gli estremi aperti e chiusi
In \(x=0\), il primo ramo tende a \(0\) ma non lo include, perché la condizione è stretta. Il secondo ramo include \(x=0\), quindi \(f(0)=1\).
- Inserisci un punto vuoto in \((0,0)\) per l’estremo escluso.
- Inserisci un punto pieno in \((0,1)\) per l’estremo incluso.
Questi marcatori rendono visibile il salto anche quando la curva è spessa o la finestra di visualizzazione è piccola.
4. Verifica la continuità a ogni confine
In un confine \(x=a\), confronta
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
In questo esempio, il limite sinistro in zero è \(0\), il limite destro è \(1\) e \(f(0)=1\). Poiché i limiti laterali sono diversi, la funzione presenta una discontinuità di salto in zero.
5. Un esempio continuo definito a tratti
Considera ora
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
Il ramo sinistro tende a \(3\), mentre il ramo destro inizia da \(1\); quindi l’esempio non è continuo. Per far coincidere i rami, usa \((x-1)^2+3\) come secondo ramo. In questo modo entrambi si incontrano in \((1,3)\).
Errori comuni
- Rappresentare ogni formula su tutta la retta reale.
- Usare \(<\) quando la definizione richiede \(\le\), o viceversa.
- Collocare il marcatore dell’estremo sul ramo sbagliato.
- Supporre che due rami siano continui perché sembrano vicini al livello di zoom corrente.
- Dimenticare che il dominio può contenere intervalli in cui non vale alcun ramo.
Esporta un risultato chiaro
Usa colori contrastanti per i rami adiacenti, mantieni i marcatori abbastanza grandi da essere visibili ed esporta in SVG se il grafico verrà ingrandito. Salva anche un progetto OGP se desideri modificare gli intervalli in seguito.
Continua con come distinguere discontinuità eliminabili, di salto e infinite, oppure ripassa dominio e immagine da un grafico.