खंडवार फलन अपने परिभाषा-क्षेत्र के अलग-अलग भागों में अलग सूत्रों का उपयोग करता है। मुख्य कठिनाई प्रत्येक सूत्र का आलेख बनाना नहीं, बल्कि हर शाखा पर सही अंतराल लागू करना और यह दिखाना है कि सीमा-बिंदु शामिल है या नहीं।
त्वरित विधि: प्रत्येक शाखा के लिए एक अलग फलन-वस्तु जोड़ें, उसे दिए गए अंतराल तक सीमित करें और जहाँ समावेशन स्पष्ट दिखाना आवश्यक हो वहाँ खुले या बंद अंतिम बिंदु अंकित करें।
1. परिभाषा को शाखा-दर-शाखा पढ़ें
मान लीजिए
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
पहली शाखा परवलय \(y=x^2\) का बायाँ आधा भाग है। दूसरी शाखा रेखा \(y=2x+1\) का वह भाग है जो \(x=0\) से शुरू होता है। पूरा परवलय और पूरी रेखा बनाना गलत होगा, क्योंकि प्रत्येक नियम केवल अपने अंतराल में मान्य है।
2. प्रत्येक शाखा के लिए प्रतिबंधित आलेख बनाएँ
- ऑनलाइन ग्राफ़िंग कैलकुलेटर खोलें।
- पहला फलन जोड़कर
x^2दर्ज करें। - फलन के अंतराल या शर्त नियंत्रण से केवल \(x<0\) वाला भाग रखें।
- दूसरा फलन जोड़कर
2*x+1दर्ज करें। - दूसरी शाखा को \(x\ge0\) तक सीमित करें।
यदि वर्तमान आलेख मोड सीधे शर्त स्वीकार करता है, तो वहीं यही असमिकाएँ दर्ज करें। अन्यथा परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध वाली अलग-अलग वस्तुएँ अधिक स्पष्ट और संपादित करने में सरल रहती हैं।
3. खुले और बंद अंतिम बिंदुओं को सही दिखाएँ
\(x=0\) पर पहली शाखा \(0\) के निकट जाती है, पर उसकी शर्त कठोर होने के कारण उसे शामिल नहीं करती। दूसरी शाखा \(x=0\) को शामिल करती है, इसलिए \(f(0)=1\)।
- बहिष्कृत अंतिम बिंदु के लिए \((0,0)\) पर खुला बिंदु रखें।
- शामिल अंतिम बिंदु के लिए \((0,1)\) पर भरा हुआ बिंदु रखें।
ये चिह्न छलाँग को स्पष्ट दिखाते हैं, भले ही वक्र मोटा हो या दृश्य-विंडो छोटी हो।
4. प्रत्येक सीमा पर सांतत्य जाँचें
सीमा \(x=a\) पर तुलना करें
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
इस उदाहरण में शून्य पर बाएँ हाथ की सीमा \(0\), दाएँ हाथ की सीमा \(1\) और \(f(0)=1\) है। एकपक्षीय सीमाएँ अलग होने के कारण शून्य पर छलाँग असांतत्य है।
5. संतत खंडवार फलन का उदाहरण
अब विचार करें
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
बाएँ से मान \(3\) की ओर जाता है, जबकि दायीं शाखा \(1\) से शुरू होती है; अतः यह उदाहरण संतत नहीं है। शाखाओं को मिलाने के लिए दूसरी शाखा में \((x-1)^2+3\) लें। तब दोनों भाग \((1,3)\) पर मिलेंगे।
सामान्य त्रुटियाँ
- हर सूत्र को पूरी वास्तविक संख्या-रेखा पर खींच देना।
- जहाँ परिभाषा में \(<\) चाहिए वहाँ \(\le\) लगाना, या इसका उलटा।
- अंतिम बिंदु का चिह्न गलत शाखा पर रखना।
- केवल वर्तमान ज़ूम पर शाखाएँ पास दिखने से उन्हें संतत मान लेना।
- यह भूल जाना कि परिभाषा-क्षेत्र में ऐसे अंतराल हो सकते हैं जहाँ कोई शाखा लागू नहीं होती।
स्पष्ट परिणाम निर्यात करें
सन्निकट शाखाओं के लिए अलग रंग रखें, अंतिम बिंदुओं को पर्याप्त बड़ा बनाएँ और बड़े आकार में उपयोग के लिए SVG निर्यात करें। अंतराल बाद में बदलने हों तो OGP परियोजना भी सहेजें।
इसके बाद हटाने योग्य, छलाँग और अनंत असांतत्य में अंतर पढ़ें, या आलेख से परिभाषा-क्षेत्र और परास दोहराएँ।