Una función definida a trozos utiliza fórmulas diferentes en distintas partes de su dominio. La principal dificultad no consiste en dibujar cada fórmula, sino en aplicar el intervalo correcto a cada rama e indicar si los puntos frontera están incluidos.
Método rápido: añade un objeto de función para cada rama, restringe cada objeto al intervalo indicado y marca los extremos abiertos o cerrados cuando la gráfica deba mostrar explícitamente la inclusión.
1. Lee la definición rama por rama
Considera
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
La primera rama es la mitad izquierda de la parábola \(y=x^2\). La segunda es la parte de la recta \(y=2x+1\) que comienza en \(x=0\). Dibujar la parábola y la recta completas sería incorrecto, porque cada regla solo es válida en su propio intervalo.
2. Crea una gráfica restringida para cada rama
- Abre la calculadora gráfica OnlineGraphing.
- Añade la primera función e introduce
x^2. - Usa los controles de intervalo o condición de la función para conservar únicamente \(x<0\).
- Añade una segunda función e introduce
2*x+1. - Restringe la segunda rama a \(x\ge0\).
Si el modo gráfico actual admite una condición directamente, utiliza allí las mismas desigualdades. En caso contrario, los objetos separados con restricciones de dominio son más claros y fáciles de editar.
3. Trata correctamente los extremos abiertos y cerrados
En \(x=0\), la primera rama se aproxima a \(0\), pero no lo incluye porque su condición es estricta. La segunda rama sí incluye \(x=0\), por lo que \(f(0)=1\).
- Coloca un punto abierto en \((0,0)\) para el extremo excluido.
- Coloca un punto relleno en \((0,1)\) para el extremo incluido.
Estos marcadores hacen visible el salto incluso cuando la curva es gruesa o la ventana de visualización es pequeña.
4. Comprueba la continuidad en cada frontera
En una frontera \(x=a\), compara
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
En este ejemplo, el límite por la izquierda en cero es \(0\), el límite por la derecha es \(1\) y \(f(0)=1\). Como los límites laterales son distintos, la función presenta una discontinuidad de salto en cero.
5. Ejemplo de función continua definida a trozos
Considera ahora
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
La rama izquierda se aproxima a \(3\), mientras que la rama derecha comienza en \(1\); por tanto, este ejemplo no es continuo. Para que ambas ramas coincidan, usa \((x-1)^2+3\) como segunda rama. Así, los dos lados se unen en \((1,3)\).
Errores frecuentes
- Graficar cada fórmula en toda la recta real.
- Usar \(<\) cuando la definición exige \(\le\), o al contrario.
- Colocar el marcador del extremo en la rama equivocada.
- Suponer que dos ramas son continuas porque parecen próximas con el nivel de zoom actual.
- Olvidar que el dominio puede contener huecos en los que no se aplica ninguna rama.
Exporta un resultado claro
Utiliza colores contrastados para ramas contiguas, marcadores de extremos suficientemente grandes y el formato SVG si vas a ampliar la gráfica. Guarda también un proyecto OGP si deseas modificar los intervalos más adelante.
A continuación, consulta cómo distinguir discontinuidades evitables, de salto e infinitas, o repasa el dominio y el rango a partir de una gráfica.