Кусочно заданная функция описывается разными формулами на разных частях области определения. Главная трудность состоит не в построении каждой формулы, а в правильном применении интервала к каждой ветви и в указании, входят ли граничные точки в график.
Быстрый способ: создайте отдельный объект функции для каждой ветви, ограничьте его заданным интервалом, затем отметьте выколотые или закрашенные концы там, где включение точки нужно показать явно.
1. Читайте определение по ветвям
Рассмотрим
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
Первая ветвь — левая половина параболы \(y=x^2\). Вторая ветвь — часть прямой \(y=2x+1\), начинающаяся при \(x=0\). Строить целую параболу и целую прямую неверно, потому что каждое правило действует только на своём интервале.
2. Создайте отдельный ограниченный график для каждой ветви
- Откройте графический калькулятор OnlineGraphing.
- Добавьте первую функцию и введите
x^2. - В настройках интервала или условия оставьте только \(x<0\).
- Добавьте вторую функцию и введите
2*x+1. - Ограничьте вторую ветвь условием \(x\ge0\).
Если текущий режим позволяет вводить условие непосредственно, используйте те же неравенства. Иначе отдельные объекты с ограничениями области определения обычно понятнее и удобнее для редактирования.
3. Правильно оформите открытые и закрытые концы
При \(x=0\) первая ветвь приближается к \(0\), но не включает эту точку, потому что условие строгое. Вторая ветвь включает \(x=0\), поэтому \(f(0)=1\).
- Поставьте выколотую точку в \((0,0)\) для исключённого конца.
- Поставьте закрашенную точку в \((0,1)\) для включённого конца.
Такие обозначения делают скачок заметным даже при толстой линии или небольшом окне просмотра.
4. Проверяйте непрерывность на каждой границе
В граничной точке \(x=a\) сравните
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
В этом примере левосторонний предел в нуле равен \(0\), правосторонний — \(1\), а \(f(0)=1\). Поскольку односторонние пределы различны, в нуле имеется разрыв первого рода со скачком.
5. Пример с проверкой непрерывности
Теперь рассмотрим
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
Слева значение стремится к \(3\), а правая ветвь начинается со значения \(1\), поэтому функция не непрерывна. Чтобы ветви соединились, замените вторую ветвь на \((x-1)^2+3\). Тогда обе части встретятся в точке \((1,3)\).
Типичные ошибки
- Построение каждой формулы на всей числовой прямой.
- Использование \(<\) вместо требуемого \(\le\) или наоборот.
- Размещение маркера конца не на той ветви.
- Предположение о непрерывности только потому, что ветви визуально близки при текущем масштабе.
- Игнорирование промежутков области определения, где не действует ни одна ветвь.
Экспортируйте понятный результат
Используйте контрастные цвета для соседних ветвей, сделайте маркеры концов достаточно крупными и выбирайте SVG, если график предстоит увеличивать. Сохраните также проект OGP, если позже планируете менять интервалы.
Далее прочитайте о различии устранимых разрывов, скачков и бесконечных разрывов или повторите область определения и область значений по графику.