구간별 정의 함수는 정의역의 서로 다른 부분에서 서로 다른 식을 사용합니다. 핵심은 각 식 자체를 그리는 것이 아니라, 각 조각에 올바른 구간을 적용하고 경계점을 포함하는지 명확히 표시하는 것입니다.
빠른 방법: 각 조각마다 함수 객체를 하나씩 추가하고, 해당 구간으로 제한한 다음, 포함 여부를 분명히 보여야 할 때 끝점을 열린 점 또는 닫힌 점으로 표시합니다.
1. 정의를 조각별로 읽기
다음 함수를 생각해 봅시다.
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
첫 번째 조각은 포물선 \(y=x^2\)의 왼쪽 절반입니다. 두 번째 조각은 직선 \(y=2x+1\) 중 \(x=0\)에서 시작하는 부분입니다. 각 규칙은 정해진 구간에서만 유효하므로 포물선 전체와 직선 전체를 그리면 잘못된 그래프가 됩니다.
2. 조각마다 구간이 제한된 그래프 만들기
- 온라인 그래프 계산기를 엽니다.
- 첫 번째 함수를 추가하고
x^2를 입력합니다. - 함수의 구간 또는 조건 설정을 사용해 \(x<0\) 부분만 남깁니다.
- 두 번째 함수를 추가하고
2*x+1을 입력합니다. - 두 번째 조각을 \(x\ge0\)으로 제한합니다.
현재 그래프 모드에서 조건을 식에 직접 붙일 수 있다면 같은 부등식을 사용하면 됩니다. 그렇지 않다면 정의역 제한을 둔 별도의 객체로 나누는 편이 더 명확하고 수정하기도 쉽습니다.
3. 열린 점과 닫힌 점 처리하기
\(x=0\)에서 첫 번째 조각은 \(0\)에 가까워지지만 조건이 엄격한 부등식이므로 그 점을 포함하지 않습니다. 두 번째 조각은 \(x=0\)을 포함하므로 \(f(0)=1\)입니다.
- 제외되는 끝점 \((0,0)\)에는 열린 점을 표시합니다.
- 포함되는 끝점 \((0,1)\)에는 채운 점을 표시합니다.
곡선이 굵거나 보기 창이 작아도 끝점 표시가 있으면 점프가 분명하게 보입니다.
4. 모든 경계에서 연속성 확인하기
경계 \(x=a\)에서는 다음을 비교합니다.
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
이 예에서 0에서의 좌극한은 \(0\), 우극한은 \(1\), 함수값은 \(f(0)=1\)입니다. 좌우 극한이 다르므로 0에서 점프 불연속이 발생합니다.
5. 연속인 조각별 함수 예제
다음을 생각해 봅시다.
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
왼쪽 값은 \(3\)에 가까워지지만 오른쪽 조각은 \(1\)에서 시작하므로 이 함수는 연속이 아닙니다. 두 조각을 연결하려면 두 번째 조각을 \((x-1)^2+3\)으로 바꾸십시오. 그러면 양쪽이 \((1,3)\)에서 만납니다.
자주 하는 실수
- 모든 식을 실수 전체 구간에서 그리는 것.
- \(<\)를 사용했지만 정의에는 \(\le\)가 필요하거나, 그 반대인 것.
- 끝점 표시를 잘못된 조각에 놓는 것.
- 현재 확대 비율에서 가까워 보인다는 이유로 두 조각이 연속이라고 판단하는 것.
- 어느 조각도 적용되지 않는 빈 구간이 정의역에 생길 수 있음을 잊는 것.
선명하게 내보내기
인접한 조각에는 대비되는 색을 사용하고, 끝점 표시는 충분히 크게 설정합니다. 그래프를 확대해 사용할 예정이라면 SVG로 내보내는 것이 좋습니다. 나중에 구간을 수정할 가능성이 있다면 OGP 프로젝트도 함께 저장하십시오.
다음으로 제거 가능 불연속, 점프 불연속, 무한 불연속을 구분하는 방법을 읽거나, 그래프에서 정의역과 치역을 구하는 방법을 복습하십시오.