ฟังก์ชันกำหนดเป็นช่วงใช้สูตรต่างกันในแต่ละส่วนของโดเมน ความยากหลักไม่ได้อยู่ที่การวาดแต่ละสูตร แต่อยู่ที่การใช้ช่วงที่ถูกต้องกับแต่ละแขนง และแสดงให้ชัดว่าจุดขอบเขตรวมอยู่ในฟังก์ชันหรือไม่
วิธีอย่างรวดเร็ว: เพิ่มวัตถุฟังก์ชันหนึ่งรายการสำหรับแต่ละแขนง จำกัดแต่ละวัตถุให้อยู่ในช่วงที่กำหนด แล้วทำเครื่องหมายจุดปลายเปิดหรือจุดปลายปิดเมื่อกราฟต้องแสดงการรวมจุดปลายอย่างชัดเจน
1. อ่านนิยามทีละแขนง
พิจารณา
\[f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\2x+1,&x\ge 0.\end{cases}\]
แขนงแรกคือครึ่งซ้ายของพาราโบลา \(y=x^2\) ส่วนแขนงที่สองคือส่วนของเส้นตรง \(y=2x+1\) ที่เริ่มจาก \(x=0\) การวาดพาราโบลาทั้งเส้นและเส้นตรงทั้งเส้นเป็นวิธีที่ผิด เพราะแต่ละกฎใช้ได้เฉพาะในช่วงของตนเอง
2. สร้างกราฟที่จำกัดช่วงสำหรับแต่ละแขนง
- เปิด เครื่องคำนวณกราฟออนไลน์
- เพิ่มฟังก์ชันแรกและป้อน
x^2 - ใช้ตัวควบคุมช่วงหรือเงื่อนไขของฟังก์ชันเพื่อให้เหลือเฉพาะ \(x<0\)
- เพิ่มฟังก์ชันที่สองและป้อน
2*x+1 - จำกัดแขนงที่สองเป็น \(x\ge0\)
หากโหมดกราฟปัจจุบันรับเงื่อนไขได้โดยตรง ให้ใช้รูปอสมการเดียวกันในโหมดนั้น หากไม่ได้ การแยกเป็นวัตถุหลายรายการพร้อมการจำกัดโดเมนจะชัดเจนและแก้ไขง่ายกว่า
3. จัดการจุดปลายเปิดและจุดปลายปิด
ที่ \(x=0\) แขนงแรกเข้าใกล้ \(0\) แต่ไม่รวมค่านั้น เพราะเงื่อนไขเป็นอสมการเคร่งครัด ส่วนแขนงที่สองรวม \(x=0\) ดังนั้น \(f(0)=1\)
- วางจุดเปิดที่ \((0,0)\) สำหรับจุดปลายที่ไม่รวมอยู่
- วางจุดทึบที่ \((0,1)\) สำหรับจุดปลายที่รวมอยู่
เครื่องหมายจุดปลายเหล่านี้ทำให้การกระโดดเห็นได้ชัด แม้เส้นกราฟจะหนาหรือหน้าต่างแสดงผลจะมีขนาดเล็ก
4. ตรวจสอบความต่อเนื่องที่ทุกจุดขอบเขต
ที่ขอบเขต \(x=a\) ให้เปรียบเทียบ
\[\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a).\]
สำหรับตัวอย่างนี้ ลิมิตซ้ายที่ศูนย์เท่ากับ \(0\) ลิมิตขวาเท่ากับ \(1\) และ \(f(0)=1\) เนื่องจากลิมิตข้างเดียวทั้งสองไม่เท่ากัน ฟังก์ชันจึงมีภาวะไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่ศูนย์
5. ตัวอย่างฟังก์ชันกำหนดเป็นช่วงที่ต่อเนื่อง
ต่อไปพิจารณา
\[g(x)=\begin{cases}x+2,&x<1,\\x^2,&x\ge1.\end{cases}\]
ค่าจากทางซ้ายเข้าใกล้ \(3\) ขณะที่แขนงขวาเริ่มที่ \(1\) ดังนั้นตัวอย่างนี้ไม่ต่อเนื่อง หากต้องการให้ทั้งสองแขนงมาบรรจบกัน ให้ใช้ \((x-1)^2+3\) สำหรับแขนงที่สอง แล้วทั้งสองด้านจะพบกันที่ \((1,3)\)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- วาดแต่ละสูตรตลอดเส้นจำนวนจริงทั้งหมด
- ใช้ \(<\) เมื่อโจทย์กำหนด \(\le\) หรือใช้สลับกัน
- วางเครื่องหมายจุดปลายไว้บนแขนงที่ผิด
- สรุปว่าสองแขนงต่อเนื่องเพียงเพราะดูอยู่ใกล้กันในระดับการซูมปัจจุบัน
- ลืมว่าโดเมนอาจมีช่องว่างที่ไม่มีแขนงใดครอบคลุม
ส่งออกผลลัพธ์ให้ชัดเจน
ใช้สีที่แตกต่างกันสำหรับแขนงที่อยู่ติดกัน ทำเครื่องหมายจุดปลายให้ใหญ่พอมองเห็น และส่งออกเป็น SVG หากต้องขยายกราฟ ควรบันทึกโครงการ OGP ไว้ด้วยหากต้องการแก้ไขช่วงภายหลัง
จากนั้นอ่าน วิธีแยกภาวะไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้ แบบกระโดด และแบบอนันต์ หรือทบทวน โดเมนและเรนจ์จากกราฟ