ภาวะไม่ต่อเนื่องเกิดที่ \(x=a\) เมื่อฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง ณ จุดนั้น ความต่อเนื่องต้องเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสามข้อ:
- \(f(a)\) มีค่า
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) มีค่า
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
การผิดเงื่อนไขแต่ละแบบทำให้เกิดภาวะไม่ต่อเนื่องต่างชนิดกัน
1. ภาวะไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้: รูโหว่
พิจารณา
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
เมื่อ \(x\ne1\) นิพจน์ย่อได้เป็น \(x+1\) แต่ฟังก์ชันเดิมไม่กำหนดค่าที่ \(x=1\) กราฟจึงเป็นเส้นตรง \(y=x+1\) ที่มีรูโหว่ตรง \((1,2)\)
ลิมิตมีค่า:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
แต่ \(f(1)\) ไม่มีค่า หากกำหนด \(f(1)=2\) จะสามารถขจัดภาวะไม่ต่อเนื่องนี้ได้
2. ภาวะไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด
สำหรับ
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
ลิมิตข้างเดียวคือ
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
เนื่องจากลิมิตข้างเดียวทั้งสองเป็นจำนวนจำกัดแต่ไม่เท่ากัน ลิมิตสองข้างจึงไม่มีค่า กราฟกระโดดจากระดับหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง
3. ภาวะไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์
สำหรับ \(h(x)=1/(x-2)\) ค่าฟังก์ชันเพิ่มโดยไม่มีขอบเขตใกล้ \(x=2\):
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
เส้น \(x=2\) เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง และฟังก์ชันมีภาวะไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์ที่จุดนี้
4. ภาวะไม่ต่อเนื่องแบบสั่น
ภาวะไม่ต่อเนื่องที่ขจัดไม่ได้ไม่ได้เป็นแบบกระโดดหรือเส้นกำกับแนวตั้งเสมอไป ฟังก์ชัน
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
สั่นไม่สิ้นสุดเมื่อ \(x\to0\) ลิมิตไม่มีค่าเพราะค่าฟังก์ชันไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่งหรืออนันต์ใดอนันต์หนึ่ง
5. ขั้นตอนการจำแนกที่เชื่อถือได้
- ตรวจสอบว่าสูตรกำหนดค่าที่ \(x=a\) หรือไม่
- คำนวณหรือประมาณลิมิตซ้ายและขวาแยกกัน
- หากทั้งสองเท่ากันและมีค่าจำกัด ให้เปรียบเทียบลิมิตร่วมกับ \(f(a)\)
- หากทั้งสองมีค่าจำกัดแต่ไม่เท่ากัน ให้จำแนกเป็นแบบกระโดด
- หากด้านใดด้านหนึ่งไม่มีขอบเขต ให้จำแนกเป็นแบบอนันต์
- หากค่าสั่นโดยไม่เข้าใกล้ค่าใด ให้จำแนกเป็นแบบสั่น
6. ข้อควรระวังในการวาดกราฟ
กราฟอาจเชื่อมจุดข้ามภาวะไม่ต่อเนื่องที่แคบ หากช่วงการสุ่มตัวอย่างหยาบเกินไป ให้ซูมบริเวณค่า x ที่สงสัยและใช้ลิมิตเชิงวิเคราะห์ยืนยัน รูโหว่แบบขจัดได้อาจมองเห็นยากหากไม่เพิ่มเครื่องหมายจุดเปิด และควรแยกเส้นกำกับแนวตั้งออกจากช่วงกราฟที่ชันมากแต่ยังมีค่าจำกัด
ใช้ เครื่องคำนวณกราฟ เพื่อเปรียบเทียบตัวอย่าง สำหรับการสร้างแขนงทีละขั้น ให้อ่าน ฟังก์ชันกำหนดเป็นช่วง และสำหรับเส้นกำกับแนวตั้ง ให้อ่าน คู่มือเรื่องเส้นกำกับ