若函數在 \(x=a\) 處不連續，就說它在該點發生不連續。函數在該點連續必須同時滿足三個條件：
- \(f(a)\) 存在；
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) 存在；
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)。
不同條件的失效會產生不同類型的不連續。
1. 可去不連續：圖形上的孔洞
考慮
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
當 \(x\ne1\) 時，表達式可化簡為 \(x+1\)，但原函數在 \(x=1\) 處沒有定義。它的圖形是直線 \(y=x+1\)，並在 \((1,2)\) 處有一個孔洞。
極限存在：
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
但 \(f(1)\) 不存在。如果補充定義 \(f(1)=2\)，這個不連續就可以消除。
2. 跳躍不連續
對於
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
兩個單側極限為
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
由於兩個單側極限都是有限值但彼此不相等，雙側極限不存在，圖形會從一個高度跳到另一個高度。
3. 無窮不連續
對於 \(h(x)=1/(x-2)\)，函數在 \(x=2\) 附近無界增大：
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
直線 \(x=2\) 是垂直漸近線，函數在該點存在無窮不連續。
4. 振盪不連續
並非所有不可去不連續都是跳躍不連續或垂直漸近線。例如函數
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
在 \(x\to0\) 時會無限次振盪。函數值既不趨近於某個確定的數，也不趨近於某一個無窮，因此極限不存在。
5. 可靠的分類步驟
- 檢查解析式在 \(x=a\) 處是否有定義。
- 分別計算或估計左極限和右極限。
- 若兩個單側極限相等且為有限值，將這個共同極限與 \(f(a)\) 比較。
- 若兩個單側極限都是有限值但不相等，判定為跳躍不連續。
- 若任一側無界，判定為無窮不連續。
- 若函數值持續振盪而不趨於穩定，判定為振盪不連續。
6. 繪圖時的注意事項
如果採樣間隔過大，繪圖程式可能會錯誤地跨過一個很窄的不連續點並連接兩側。應在可疑的 x 值附近放大圖形，並用解析極限確認。可去不連續的孔洞可能很難看清，需要新增空心點標記；垂直漸近線也應與斜率很大但仍為有限值的曲線段區分開來。