若函数在 \(x=a\) 处不连续，就说它在该点发生间断。函数在该点连续必须同时满足三个条件：
- \(f(a)\) 存在；
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) 存在；
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)。
不同条件的失效会产生不同类型的间断。
1. 可去间断：图像上的空洞
考虑
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.\]
当 \(x\ne1\) 时，表达式可化简为 \(x+1\)，但原函数在 \(x=1\) 处没有定义。它的图像是直线 \(y=x+1\)，并在 \((1,2)\) 处有一个空洞。
极限存在：
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2,\]
但 \(f(1)\) 不存在。如果补充定义 \(f(1)=2\)，这个间断就可以消除。
2. 跳跃间断
对于
\[g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\x+3,&x\ge0,\end{cases}\]
两个单侧极限为
\[\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=3.\]
由于两个单侧极限都是有限值但彼此不相等，双侧极限不存在，图像会从一个高度跳到另一个高度。
3. 无穷间断
对于 \(h(x)=1/(x-2)\)，函数在 \(x=2\) 附近无界增大：
\[\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty.\]
直线 \(x=2\) 是竖直渐近线，函数在该点存在无穷间断。
4. 振荡间断
并非所有不可去间断都是跳跃间断或竖直渐近线。例如函数
\[q(x)=\sin\left(\frac1x\right),\qquad x\ne0,\]
在 \(x\to0\) 时会无限次振荡。函数值既不趋近于某个确定的数，也不趋近于某一个无穷，因此极限不存在。
5. 可靠的分类步骤
- 检查解析式在 \(x=a\) 处是否有定义。
- 分别计算或估计左极限和右极限。
- 若两个单侧极限相等且为有限值，将这个共同极限与 \(f(a)\) 比较。
- 若两个单侧极限都是有限值但不相等，判定为跳跃间断。
- 若任一侧无界，判定为无穷间断。
- 若函数值持续振荡而不趋于稳定，判定为振荡间断。
6. 绘图时的注意事项
如果采样间隔过大，绘图程序可能会错误地跨过一个很窄的间断点并连接两侧。应在可疑的 x 值附近放大图像，并用解析极限确认。可去间断的空洞可能很难看清，需要添加空心点标记；竖直渐近线也应与斜率很大但仍为有限值的曲线段区分开来。