兩條曲線之間的面積，可以透過在有界區間上積分它們的垂直距離或水平距離來求得。圖形非常重要，因為它能顯示哪條曲線位於上方，以及區域是否需要分段計算。
1. 垂直切片公式
若 \(y=f(x)\) 位於 \(y=g(x)\) 上方，並且 \(a\le x\le b\)，則
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
被積函數是“上方函數減去下方函數”，因此表示一個非負的垂直高度。
2. 計算範例：直線與拋物線
求下列兩條曲線圍成的面積：
\[y=2x\qquad\text{與}\qquad y=x^2.\]
先求交點：
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
在 \([0,2]\) 上，直線位於拋物線上方。例如當 \(x=1\) 時，\(2x=2>1=x^2\)。因此
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. 用圖形驗證區域
開啟圖形陰影工具，繪製 2*x 和 x^2，並填充從 0 到 2 的兩曲線之間區域。陰影圖形應與積分上下限以及“上減下”的順序一致。
4. 當兩條曲線交換上下位置時
如果 \(f-g\) 在區間內部變號，直接對 \(f-g\) 只作一次積分得到的是帶符號面積，正負部分可能相互抵消。應在每個交點處分段：
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
實際計算時，應在每個子區間分別判斷哪條曲線位於上方，再按正確順序相減，從而去掉絕對值符號。
5. 使用水平切片
有些區域更適合把 x 寫成 y 的函數。若 \(x=R(y)\) 是右邊界，\(x=L(y)\) 是左邊界，並且 \(c\le y\le d\)，則
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
當垂直切片需要拆成多個積分時，水平切片往往更加簡潔。
6. 瑕積分或無界區域
垂直漸近線附近的區域可能需要使用瑕積分。圖形上看似圍成一條很細的尾部，並不能保證面積有限。應把漸近端點替換為變數極限，檢驗積分是否收斂後再給出數值。
7. 數值答案與精確答案
只要可能，應使用交點的精確值。如果兩方程式的交點無法用初等形式表示，可以採用數值求根和數值積分，但必須說明結果為近似值並保留足夠精度。圖形可以幫助選擇數值求解器的初始區間。
常見錯誤
- 把檢視範圍的邊界誤當作積分上下限。
- 用下方函數減上方函數，並接受負面積。
- 遺漏區間內部使兩曲線交換上下位置的交點。
- 本來對 y 積分更簡單，卻堅持對 x 積分。
- 認為圖形上看似有界的區域一定具有有限面積。
- 過早對交點數值進行四捨五入。
若該區域還要繞軸旋轉，請繼續學習圓盤法、圓環法和圓柱殼法。若要學習如何繪製區域，請參閱如何填充兩條曲線之間的區域。