L’area tra due curve si ottiene integrando la loro distanza verticale o orizzontale nell’intervallo in cui la regione è limitata. Il grafico è utile perché mostra quale curva è sopra l’altra e se la regione deve essere suddivisa.
1. Formula con sezioni verticali
Se \(y=f(x)\) si trova sopra \(y=g(x)\) per \(a\le x\le b\), allora
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
L’integrando è “sopra meno sotto”, quindi rappresenta un’altezza verticale non negativa.
2. Esempio svolto: retta e parabola
Trova l’area racchiusa da
\[y=2x\qquad\text{e}\qquad y=x^2.\]
Per prima cosa trova le intersezioni:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
In \([0,2]\), la retta è sopra la parabola perché, per esempio, in \(x=1\), \(2x=2>1=x^2\). Quindi
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Verifica visivamente la regione
Apri lo strumento Ombreggiatura del grafico, rappresenta 2*x e x^2 e ombreggia la regione compresa tra esse da 0 a 2. L’immagine deve corrispondere agli estremi dell’integrale e all’ordine sopra meno sotto.
4. Quando le curve si scambiano di posizione
Se \(f-g\) cambia segno nell’intervallo, un unico integrale di \(f-g\) fornisce area con segno e può produrre cancellazioni. Suddividi in ogni intersezione:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
In pratica, determina separatamente la curva superiore in ogni sottointervallo ed elimina il valore assoluto usando l’ordine corretto.
5. Sezioni orizzontali
Alcune regioni sono più semplici da descrivere con x in funzione di y. Se \(x=R(y)\) è il confine destro e \(x=L(y)\) è il confine sinistro per \(c\le y\le d\), allora
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Le sezioni orizzontali sono utili quando quelle verticali richiederebbero diversi integrali separati.
6. Regioni improprie o illimitate
Una regione vicina a un asintoto verticale può richiedere un integrale improprio. Un grafico che sembra racchiudere una coda sottile non garantisce un’area finita. Sostituisci l’estremo asintotico con un limite variabile e verifica la convergenza prima di fornire un valore.
7. Risposte numeriche ed esatte
Usa intersezioni esatte quando possibile. Se le equazioni si incontrano in valori non elementari, possono essere appropriati metodi numerici per trovare zeri e integrare, ma indica l’approssimazione e usa precisione sufficiente. Il grafico aiuta a scegliere intervalli iniziali per il metodo numerico.
Errori comuni
- Usare i bordi della finestra grafica come estremi di integrazione.
- Sottrarre sotto meno sopra e accettare un’area negativa.
- Non individuare un’intersezione interna in cui le curve si scambiano.
- Integrare rispetto a x quando l’integrazione rispetto a y sarebbe molto più semplice.
- Supporre che ogni regione apparentemente limitata abbia area finita.
- Arrotondare troppo presto i valori di intersezione.
Per ruotare la regione, continua con i metodi dei dischi, degli anelli e dei gusci. Per la costruzione del grafico, consulta come ombreggiare tra due curve.