كيفية حساب المساحة بين منحنيين

تُحسب المساحة بين منحنيين بتكامل المسافة الرأسية أو الأفقية بينهما على الفترة التي تكون فيها المنطقة محصورة. والرسم البياني مهم لأنه يبين أي المنحنيين أعلى، وهل يجب تقسيم المنطقة.

1. صيغة الشرائح الرأسية

إذا كان \(y=f(x)\) أعلى من \(y=g(x)\) عندما \(a\le x\le b\)، فإن

\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]

المتكامل هو «الأعلى ناقص الأسفل»، ولذلك يمثل ارتفاعًا رأسيًا غير سالب.

2. مثال محلول: مستقيم وقطع مكافئ

أوجد المساحة المحصورة بين

\[y=2x\qquad\text{و}\qquad y=x^2.\]

أوجد التقاطعات أولًا:

\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]

على \([0,2]\) يكون المستقيم أعلى من القطع المكافئ؛ فعند \(x=1\) مثلًا، \(2x=2>1=x^2\). ومن ثم

\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]

3. تحقّق من المنطقة بصريًا

افتح أداة تظليل الرسوم، وارسم 2*x وx^2، وظلل المنطقة بينهما من 0 إلى 2. يجب أن تطابق الصورة المظللة حدود التكامل وترتيب الأعلى ناقص الأسفل.

4. عندما يتبادل المنحنيان موضعيهما

إذا غيّر \(f-g\) إشارته داخل الفترة، فإن تكاملًا واحدًا لـ \(f-g\) يعطي مساحة موقعة وقد تلغي الأجزاء بعضها. قسّم عند كل تقاطع:

\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]

عمليًا، حدد المنحنى الأعلى في كل فترة جزئية، وأزل القيمة المطلقة باستعمال الترتيب الصحيح.

5. الشرائح الأفقية

يسهل وصف بعض المناطق بكتابة x دالة في y. إذا كان \(x=R(y)\) الحد الأيمن و\(x=L(y)\) الحد الأيسر عندما \(c\le y\le d\)، فإن

\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]

تفيد الشرائح الأفقية عندما تحتاج الشرائح الرأسية إلى عدة تكاملات منفصلة.

6. المناطق غير الصحيحة أو غير المحدودة

قد تتطلب منطقة قرب مقارب رأسي تكاملًا غير صحيح. وظهور ذيل رفيع محصور في الرسم لا يضمن أن المساحة منتهية. استبدل نهاية المقارب بحد متغير واختبر التقارب قبل ذكر قيمة عددية.

7. الإجابات العددية والدقيقة

استخدم نقاط تقاطع دقيقة كلما أمكن. وإذا التقت المعادلات عند قيم لا يمكن التعبير عنها بدوال ابتدائية، فقد يكون إيجاد الجذور والتكامل العدديان مناسبين، لكن اذكر أن النتيجة تقريبية واستعمل دقة كافية. يساعد الرسم على اختيار فترات بدء للحل العددي.

أخطاء شائعة

• استخدام حواف نافذة العرض حدودًا للتكامل.
• طرح الأعلى من الأسفل وقبول مساحة سالبة.
• إغفال تقاطع داخلي يتبادل عنده المنحنيان الترتيب.
• التكامل بالنسبة إلى x عندما يكون التكامل بالنسبة إلى y أبسط بكثير.
• افتراض أن كل منطقة تبدو محصورة بصريًا لها مساحة منتهية.
• تقريب قيم التقاطع مبكرًا جدًا.

إذا كانت المنطقة ستُدار، فتابع إلى طرق القرص والحلقة والقشرة الأسطوانية. ولإنشاء الرسم راجع كيفية تظليل المنطقة بين منحنيين.