El área entre dos curvas se obtiene integrando su separación vertical u horizontal en el intervalo donde la región está acotada. La gráfica resulta muy útil porque muestra qué curva está por encima de la otra y si es necesario dividir la región.
1. Fórmula con rebanadas verticales
Si \(y=f(x)\) está por encima de \(y=g(x)\) para \(a\le x\le b\), entonces
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
El integrando es «superior menos inferior», de modo que representa una altura vertical no negativa.
2. Ejemplo resuelto: recta y parábola
Halla el área encerrada por
\[y=2x\qquad\text{y}\qquad y=x^2.\]
Primero, halla las intersecciones:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
En \([0,2]\), la recta está por encima de la parábola porque, por ejemplo, en \(x=1\), \(2x=2>1=x^2\). Por tanto,
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Verifica visualmente la región
Abre la herramienta de sombreado de gráficas, grafica 2*x y x^2, y sombrea la región comprendida entre ambas desde 0 hasta 2. La imagen sombreada debe coincidir con los límites de integración y con el orden superior menos inferior.
4. Cuando las curvas intercambian el orden
Si \(f-g\) cambia de signo dentro del intervalo, una sola integral de \(f-g\) produce área con signo y puede haber cancelación. Divide el intervalo en cada intersección:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
En la práctica, determina por separado la curva superior en cada subintervalo y elimina el valor absoluto usando el orden correcto.
5. Rebanadas horizontales
Algunas regiones se describen más fácilmente expresando x como función de y. Si \(x=R(y)\) es la frontera derecha y \(x=L(y)\) es la frontera izquierda para \(c\le y\le d\), entonces
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Las rebanadas horizontales son útiles cuando las verticales obligarían a usar varias integrales separadas.
6. Regiones impropias o no acotadas
Una región próxima a una asíntota vertical puede requerir una integral impropia. El hecho de que una gráfica parezca encerrar una cola estrecha no garantiza que el área sea finita. Sustituye el extremo asintótico por un límite variable y comprueba la convergencia antes de dar un resultado numérico.
7. Resultados numéricos y exactos
Utiliza intersecciones exactas siempre que sea posible. Si las ecuaciones se cortan en valores no elementales, puede ser apropiado usar cálculo numérico de raíces e integración numérica; indica que se trata de una aproximación y conserva precisión suficiente. La gráfica ayuda a elegir intervalos iniciales para el solucionador numérico.
Errores frecuentes
- Usar los bordes de la ventana gráfica como límites de integración.
- Restar inferior menos superior y aceptar un área negativa.
- No detectar una intersección interior donde las curvas cambian de orden.
- Integrar respecto de x cuando hacerlo respecto de y sería mucho más sencillo.
- Suponer que toda región que parece acotada visualmente tiene área finita.
- Redondear demasiado pronto los valores de intersección.
Si la región se va a girar, continúa con los métodos de discos, arandelas y capas cilíndricas. Para construir la gráfica, consulta cómo sombrear entre dos curvas.