Pole między dwiema krzywymi oblicza się przez całkowanie ich pionowej albo poziomej odległości na przedziale, na którym obszar jest ograniczony. Wykres pomaga ustalić, która krzywa leży wyżej i czy obszar trzeba podzielić.
1. Wzór dla pasków pionowych
Jeśli \(y=f(x)\) leży nad \(y=g(x)\) dla \(a\le x\le b\), to
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
Funkcja podcałkowa jest różnicą „górna minus dolna”, więc przedstawia nieujemną wysokość pionową.
2. Przykład: prosta i parabola
Oblicz pole ograniczone przez
\[y=2x\qquad\text{and}\qquad y=x^2.\]
Najpierw znajdź punkty przecięcia:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
Na \([0,2]\) prosta leży nad parabolą, ponieważ na przykład dla \(x=1\) mamy \(2x=2>1=x^2\). Zatem
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Sprawdź obszar wizualnie
Otwórz narzędzie cieniowania wykresów, narysuj 2*x oraz x^2 i zacieniuj obszar między nimi od 0 do 2. Obraz powinien odpowiadać granicom całkowania i kolejności górna-minus-dolna.
4. Gdy krzywe zamieniają się kolejnością
Jeśli \(f-g\) zmienia znak wewnątrz przedziału, pojedyncza całka z \(f-g\) daje pole zorientowane i części mogą się znosić. Podziel całkę w każdym punkcie przecięcia:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
W praktyce ustal osobno funkcję górną na każdym podprzedziale i usuń wartość bezwzględną, stosując właściwą kolejność.
5. Paski poziome
Niektóre obszary łatwiej opisać, traktując x jako funkcję y. Jeśli \(x=R(y)\) jest prawą granicą, a \(x=L(y)\) lewą granicą dla \(c\le y\le d\), to
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Paski poziome są przydatne, gdy paski pionowe wymagałyby kilku oddzielnych całek.
6. Obszary niewłaściwe lub nieograniczone
Obszar przy asymptocie pionowej może wymagać całki niewłaściwej. Wykres, który wydaje się zamykać cienki ogon, nie gwarantuje skończonego pola. Zastąp asymptotyczny koniec zmienną granicą i sprawdź zbieżność przed podaniem wyniku.
7. Wyniki numeryczne i dokładne
Używaj dokładnych punktów przecięcia, gdy jest to możliwe. Jeśli równania przecinają się dla wartości nieelementarnych, odpowiednie mogą być numeryczne wyznaczanie pierwiastków i całkowanie numeryczne. Zaznacz wtedy, że wynik jest przybliżony, i zachowaj wystarczającą dokładność. Wykres pomaga wybrać przedziały początkowe dla metody numerycznej.
Najczęstsze błędy
- Używanie krawędzi okna wykresu jako granic całkowania.
- Odejmowanie dolna minus górna i akceptowanie ujemnego pola.
- Pominięcie wewnętrznego punktu przecięcia, w którym krzywe zmieniają kolejność.
- Całkowanie względem x, gdy całkowanie względem y byłoby znacznie prostsze.
- Założenie, że każdy wizualnie ograniczony obszar ma skończone pole.
- Zbyt wczesne zaokrąglanie punktów przecięcia.
Dla obszaru, który będzie obracany, przejdź do metody krążków, pierścieni i powłok walcowych. Informacje o konstrukcji wykresu znajdziesz w artykule jak zacieniować obszar między dwiema krzywymi.