两条曲线之间的面积，可以通过在有界区间上积分它们的竖直距离或水平距离来求得。图像非常重要，因为它能显示哪条曲线位于上方，以及区域是否需要分段计算。
1. 竖直切片公式
若 \(y=f(x)\) 位于 \(y=g(x)\) 上方，并且 \(a\le x\le b\)，则
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
被积函数是“上方函数减去下方函数”，因此表示一个非负的竖直高度。
2. 计算示例：直线与抛物线
求下列两条曲线围成的面积：
\[y=2x\qquad\text{和}\qquad y=x^2.\]
先求交点：
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
在 \([0,2]\) 上，直线位于抛物线上方。例如当 \(x=1\) 时，\(2x=2>1=x^2\)。因此
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. 用图像验证区域
打开图形阴影工具，绘制 2*x 和 x^2，并填充从 0 到 2 的两曲线之间区域。阴影图形应与积分上下限以及“上减下”的顺序一致。
4. 当两条曲线交换上下位置时
如果 \(f-g\) 在区间内部变号，直接对 \(f-g\) 作一个积分得到的是带符号面积，正负部分可能相互抵消。应在每个交点处分段：
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
实际计算时，应在每个子区间分别判断哪条曲线位于上方，再按正确顺序相减，从而去掉绝对值符号。
5. 使用水平切片
有些区域更适合把 x 写成 y 的函数。若 \(x=R(y)\) 是右边界，\(x=L(y)\) 是左边界，并且 \(c\le y\le d\)，则
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
当竖直切片需要拆成多个积分时，水平切片往往更加简洁。
6. 反常积分或无界区域
竖直渐近线附近的区域可能需要使用反常积分。图像上看似围成一条很细的尾部，并不能保证面积有限。应把渐近端点替换为变量极限，检验积分是否收敛后再给出数值。
7. 数值答案与精确答案
只要可能，应使用交点的精确值。如果两方程的交点无法用初等形式表示，可以采用数值求根和数值积分，但必须说明结果为近似值并保留足够精度。图像可以帮助选择数值求解器的初始区间。
常见错误
- 把观察窗口的边界误当作积分上下限。
- 用下方函数减上方函数，并接受负面积。
- 遗漏区间内部使两曲线交换上下位置的交点。
- 本来对 y 积分更简单，却坚持对 x 积分。
- 认为图像上看似有界的区域一定具有有限面积。
- 过早对交点数值进行四舍五入。
若该区域还要绕轴旋转，请继续学习圆盘法、圆环法和柱壳法。若要学习如何绘制区域，请参阅如何填充两条曲线之间的区域。