圆盘法、圆环法和柱壳法都可以计算旋转体的体积。通常，能够用最少分段和最简单边界函数描述区域的方法，就是最佳选择。
1. 圆盘法
圆盘可以看作内半径为零的圆环。若函数 \(y=R(x)\) 下方的区域绕 x 轴旋转，则
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
例如，将 \(y=\sqrt{x}\) 下方从 \(x=0\) 到 \(x=4\) 的区域绕 x 轴旋转：
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. 圆环法
圆环的外半径为 \(R\)，内半径为 \(r\)：
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
当垂直于旋转轴的切片形成带孔圆环时，使用圆环法。半径必须从旋转轴量起；当旋转轴发生平移时，不能简单把函数的 y 值直接当作半径。
例如，将 \(y=2\) 与 \(y=x\) 在 \([0,2]\) 上围成的区域绕 x 轴旋转，得到
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. 柱壳法
一条竖直小条绕 y 轴旋转会形成圆柱壳。体积微元等于周长乘高度再乘厚度：
\[V=2\pi\int_a^b(\text{半径})(\text{高度})\,dx.\]
绕 y 轴旋转时，半径通常是 x。若绕平移后的竖直直线 \(x=c\) 旋转，半径应取类似 \(|x-c|\) 的距离。
4. 对同一区域比较圆环法与柱壳法
考虑 \(y=2x\) 与 \(y=x^2\) 在 \(0\le x\le2\) 上围成的区域，并将其绕 y 轴旋转。
柱壳法：半径为 \(x\)，高度为 \(2x-x^2\)：
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
圆环法：需要把 x 表示为 y 的函数。右边界为 \(x=\sqrt{y}\)，左边界为 \(x=y/2\)，并且 \(0\le y\le4\)：
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
两种方法都正确，但柱壳法不需要把两条曲线都解成 x 的函数，因此更简短。
5. 实用的选择规则
| 问题 | 可能适用的方法 |
|---|---|
| 垂直于旋转轴的切片是否形成实心圆？ | 圆盘法 |
| 垂直于旋转轴的切片是否形成带孔圆环？ | 圆环法 |
| 平行于旋转轴的切片是否形成高度易求的圆柱壳？ | 柱壳法 |
| 某种方法是否需要把函数解成另一个变量？ | 尝试另一种方法 |
| 区域的边界是否在中途发生变化？ | 选择需要较少分段积分的方法 |
6. 平移后的旋转轴
绕 \(y=k\) 旋转时，半径是竖直距离，例如 \(|f(x)-k|\)。绕 \(x=c\) 旋转时，柱壳半径是水平距离，例如 \(|x-c|\)。在图中明确画出旋转轴，可以避免符号和半径错误。
7. 积分前先可视化
使用旋转体可视化工具显示生成区域、旋转轴、外表面、内表面和代表性截面。可视化不能代替微积分建模，但能更容易发现半径错误或误选旋转轴。
常见错误
- 旋转轴平移后，仍直接把函数值当作半径。
- 把外半径和内半径的顺序颠倒。
- 柱壳法中忘记因子 \(2\pi\)。
- 把柱壳高度写成“上方加下方”，而不是上方减下方。
- 在对 y 积分时使用 x 的上下限，或在对 x 积分时使用 y 的上下限。
- 还没有画出区域就先决定使用哪种方法。