旋转体由平面区域绕一条直线旋转形成。可视化能帮助判断外半径、内半径、截面和积分变量。
1. 定义平面区域
输入上边界与下边界，并设置左右端点。先确认二维阴影区域正确，再生成旋转体。
2. 选择旋转轴
绕 x 轴旋转通常使用竖直切片，绕 y 轴旋转可以使用水平切片或柱壳。旋转轴也可以是 \(y=c\) 或 \(x=c\)。
3. 圆盘法和圆环法
若截面没有孔洞，体积元为 \(\pi R(x)^2\,dx\)；若有内半径，则为 \(\pi[R(x)^2-r(x)^2]\,dx\)。
4. 柱壳法
柱壳法使用 \(2\pi\cdot\text{半径}\cdot\text{高度}\)。当切片方向与圆盘法不方便时，柱壳法可能更简洁。
5. 用图像核对
在旋转体可视化工具中显示两个底面、截面、半径和旋转轴，确认几何量与积分式一致。
可先阅读两条曲线之间的区域。
选择积分方法的原则
切片垂直于旋转轴时通常形成圆盘或圆环；切片平行于旋转轴时通常形成柱壳。选择能够直接用给定函数表示半径和高度的方法。
旋转轴不在坐标轴上时，半径是曲线到旋转轴的距离，而不是简单的函数值。外半径和内半径必须保持非负并按大小排列。
- 先画二维区域和旋转轴
- 写出半径与高度的几何表达式
- 用可视化检查是否出现空腔或重叠