المجسّمات الدورانية

كيفية تصور مجسّم دوراني عبر الإنترنت

August 2, 2026 onlinegraphing.com

ينشأ المجسّم الدوراني عندما تدور منطقة مستوية حول خط. يساعد التصور الثلاثي الأبعاد على فهم أنصاف الأقطار والمقاطع قبل كتابة تكامل الحجم.

1. حدّد المنطقة

مثلاً خذ المنطقة المحصورة بين \(y=\sqrt{x}\) ومحور \(x\) من \(x=1\) إلى \(x=4\). ارسم الحدود أولاً وتحقق من أن المنطقة مغلقة.

2. اختر محور الدوران

عند الدوران حول محور \(x\) يكون نصف القطر الخارجي \(R(x)=\sqrt{x}\)، ولا يوجد ثقب داخلي، أي \(r(x)=0\).

3. صيغة الحجم

V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx

في المثال:

V=\pi\int_1^4 x\,dx=\frac{15\pi}{2}

4. أنشئ التصور

افتح عارض المجسّم الدوراني، وأدخل المنحنى والحدود ومحور الدوران. أظهر أنصاف أقطار القاعدتين والمقاطع الوسطية لتفهم كيف تتغير الأقراص على طول المجال.

الأقراص والحلقات

إذا لامست المنطقة محور الدوران نستخدم الأقراص. وإذا كان بينها وبين المحور فراغ نستخدم الحلقات بنصفي قطر خارجي وداخلي. يجب قياس نصف القطر كمسافة عمودية إلى محور الدوران لا كقيمة دالة عشوائية.

تحقق قبل الحساب

هل المجال صحيح؟
هل المحور أفقي أم رأسي؟
أي منحنى أبعد عن المحور؟
هل توجد فجوة داخل المجسّم؟

يمكنك البدء بتظليل المنطقة في دليل المنطقة بين منحنيين ثم تدويرها.

الدوران حول خط غير المحور

إذا دار الشكل حول خط مثل \(y=c\)، فقِس أنصاف الأقطار كمسافات إلى ذلك الخط. مثلاً قد يكون \(R(x)=|f(x)-c|\). رتّب المنحنيات بحسب بعدها عن محور الدوران لا بحسب كونها أعلى على الصفحة فقط.

اختيار اتجاه المقاطع

طريقة الأقراص والحلقات تستخدم مقاطع عمودية على محور الدوران، بينما طريقة القشور تستخدم مقاطع موازية له. اختر الطريقة التي تعطي حدوداً أبسط وتقلل الحاجة إلى حل الدالة بالنسبة إلى متغير آخر. قارن التصور مع صيغة التكامل وتأكد من أن الحجم بوحدات مكعبة.