回転体は、平面上の領域を直線の周りに回転してできる立体です。可視化すると、関数グラフと立体の断面の関係が理解しやすくなります。
1. 回転させる領域を決める
上側と下側の関数、区間を指定します。例：\(y=\sqrt{x}\)、\(y=0\)、\(1\le x\le4\)。
2. 回転軸を選ぶ
x軸の周りに回転すると、x軸に垂直な円板またはワッシャー断面を考えられます。y軸の周りでは半径の表し方や積分方向が変わります。
3. 外半径と内半径
2つの曲線の間を回転すると、穴のあるワッシャー断面になることがあります。x軸回転の体積は
\[V=\pi\int_a^b\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx\]
4. 平方根関数の例
\(R(x)=\sqrt{x}\)、\(r(x)=0\)、区間 \([1,4]\) なら
\[V=\pi\int_1^4 x\,dx\]
5. 図の確認
端面の楕円、隠れた部分の破線、直径、塗りつぶしが回転軸と一致しているか確認します。図は形を説明し、正確な体積は積分で求めます。
先に、2つの曲線の間の領域を確認すると理解しやすくなります。