Un sólido de revolución se obtiene al girar una región plana alrededor de un eje. Una buena visualización ayuda a elegir entre los métodos de discos, arandelas o capas cilíndricas.
Ejemplo
Considera la región situada bajo y=sqrt(x), sobre y=0, para 1≤x≤4, girada alrededor del eje x.
1. Crea las funciones frontera
En la calculadora gráfica, representa y=sqrt(x) y y=0. Verifica que la región entre x=1 y x=4 sea la que deseas girar.
2. Abre la herramienta de sólidos
En Sólido de revolución, selecciona las dos curvas, introduce los límites 1 y 4 y elige el eje Ox.
3. Interpreta las secciones
Una rebanada vertical se convierte en un disco de radio R(x)=sqrt(x). Su área es πR(x)^2=πx, y el volumen se expresa como π∫_1^4 x dx.
Regiones con un hueco
Si la región está entre dos curvas positivas y no toca el eje, el giro produce arandelas. El radio exterior es la mayor distancia al eje y el interior la menor.
El área de la sección es π(R(x)^2-r(x)^2).
Giro alrededor del eje y
Al girar alrededor de Oy, las rebanadas horizontales pueden producir discos o arandelas en función de y. Las rebanadas verticales también pueden conducir al método de capas cilíndricas.
Usa los controles de visualización
Ajusta la opacidad, las elipses de las bases, radios, diámetros y líneas ocultas. Estos elementos mejoran la lectura, pero no cambian los límites ni la fórmula del volumen.
Comprueba la geometría antes de calcular
- ¿La región plana es correcta?
- ¿El eje de giro es el adecuado?
- ¿El radio exterior es mayor que el interior?
- ¿Los límites corresponden a la región?
- ¿Las unidades del volumen son cúbicas?
La visualización no es la demostración
La perspectiva puede distorsionar longitudes. Usa la imagen para comprender la geometría y justifica la fórmula mediante radios, secciones e integral.
Para preparar una región más compleja, revisa cómo sombrear la zona entre dos curvas.