Un solide de révolution est obtenu en faisant tourner une région plane autour d’un axe. Une visualisation correcte aide à choisir la méthode des disques, des rondelles ou des coquilles cylindriques.
Exemple
Considérons la région située sous y=sqrt(x), au-dessus de y=0, pour 1≤x≤4, tournée autour de l’axe des abscisses.
1. Créer les fonctions frontières
Dans la calculatrice graphique, tracez y=sqrt(x) et y=0. Vérifiez que la région comprise entre x=1 et x=4 est celle que vous souhaitez faire tourner.
2. Ouvrir l’outil de solide
Dans Solide de révolution, sélectionnez les deux courbes, saisissez les bornes 1 et 4, puis choisissez l’axe Ox.
3. Interpréter les sections
Une tranche verticale devient un disque de rayon R(x)=sqrt(x). Son aire est πR(x)^2=πx. Le volume correspondant est π∫_1^4 x dx.
Régions avec un trou
Si la région est comprise entre deux courbes positives et ne touche pas l’axe, la rotation produit des rondelles. Le rayon extérieur est la plus grande distance à l’axe et le rayon intérieur la plus petite.
La section vaut alors π(R(x)^2-r(x)^2).
Rotation autour de l’axe des ordonnées
Pour une rotation autour de Oy, des tranches horizontales peuvent conduire à des disques ou rondelles en fonction de y. Des tranches verticales peuvent aussi conduire à la méthode des coquilles.
Utiliser les commandes d’affichage
Réglez l’opacité, les ellipses des bases, les rayons, les diamètres et les parties cachées. Ces éléments améliorent la lecture, mais ne modifient pas les bornes ni la formule du volume.
Vérifier la géométrie avant le calcul
- La région plane est-elle correcte ?
- L’axe de rotation est-il le bon ?
- Le rayon extérieur est-il vraiment supérieur au rayon intérieur ?
- Les bornes correspondent-elles à la région ?
- Les unités du volume sont-elles cubiques ?
La visualisation n’est pas la démonstration
La perspective peut déformer les longueurs. Utilisez l’image pour comprendre la géométrie, puis justifiez la formule par les rayons, les sections et l’intégrale.
Créer le solide de l’exemple →
Pour préparer une région plus complexe, voyez d’abord comment hachurer la zone entre deux courbes.