Pour remplir la région entre deux courbes, il faut connaître leurs points d’intersection et savoir laquelle est au-dessus de l’autre sur chaque intervalle.
Exemple
Considérons y=x^2 et y=2x+3.
1. Trouver les intersections
Résolvez x^2=2x+3, soit x^2-2x-3=0. Les solutions sont x=-1 et x=3. Les points d’intersection sont (-1,1) et (3,9).
2. Identifier la courbe supérieure
Testez une valeur entre les intersections, par exemple x=0. La droite donne 3 et la parabole 0 ; la droite est donc au-dessus sur [-1,3].
3. Créer les deux graphes
Tracez les deux fonctions dans la calculatrice graphique. Utilisez des couleurs distinctes et vérifiez les deux intersections.
4. Ajouter la région
Dans l’outil de hachurage, choisissez 2x+3 comme frontière supérieure, x^2 comme frontière inférieure, puis l’intervalle de -1 à 3.
Lorsque les courbes changent d’ordre
Si la courbe supérieure change à un point d’intersection intérieur, séparez la région en plusieurs intervalles. Sinon, le remplissage risque de s’inverser ou de couvrir une zone non souhaitée.
Régions décrites par rapport à y
Certaines régions sont plus simples à exprimer avec x=g(y). Dans ce cas, identifiez la frontière de gauche et celle de droite, puis utilisez un intervalle de valeurs de y.
Lien avec l’aire
Pour des tranches verticales, l’aire vaut ∫(courbe supérieure-courbe inférieure)dx. Le hachurage aide à choisir le bon ordre avant d’écrire l’intégrale.
Erreurs fréquentes
- Utiliser des bornes qui ne sont pas les intersections.
- Inverser les courbes supérieure et inférieure.
- Ignorer un changement d’ordre.
- Confondre hachurage et calcul de l’aire.
Hachurer la région de l’exemple →
Pour plusieurs contraintes simultanées, consultez le tracé d’un système d’inéquations.