كيفية تظليل المنطقة بين منحنيين

لتظليل منطقة بين منحنيين يجب معرفة حدودها الأفقية وأي الدالتين تقع أعلى الأخرى. الرسم يساعد، لكن نقاط التقاطع تحدد الحدود الدقيقة.

مثال

قارن \(y=2x+3\) مع \(y=x^2\). بحل \(x^2=2x+3\) نجد \(x=-1\) و\(x=3\).

اختبر \(x=0\): قيمة الخط هي \(3\) وقيمة القطع المكافئ هي \(0\)، لذلك يكون الخط هو الحد الأعلى بين نقطتي التقاطع.

إعداد التظليل

1. أدخل الدالتين في أداة التظليل.
2. اختر التظليل بين المنحنيين.
3. ضع المجال من \(-1\) إلى \(3\).
4. اختر شفافية مناسبة وأظهر الحدود.

صلة المساحة بالتكامل

مساحة المنطقة في هذا المثال تساوي:

إذا تبدّل ترتيب الدالتين داخل المجال فقسّم التكامل والتظليل عند نقطة التبدّل. لا تعتمد على ترتيب الإدخال في الأداة لتحديد الأعلى والأسفل.

اقرأ أيضاً تحويل المنطقة إلى مجسّم دوراني.

عندما تتقاطع المنحنيات أكثر من مرتين

رتّب جميع نقاط التقاطع ثم افحص ترتيب الدالتين في كل فترة. قد تكون الدالة الأولى أعلى في فترة وأسفل في أخرى، لذلك لا تستخدم تعبيراً واحداً للمساحة أو التظليل من دون تقسيم. أنشئ عدة مناطق إذا لزم الأمر، واجعل حدود كل منطقة مطابقة لنقطتي التقاطع المجاورتين.

الفحص العددي

اختر قيمة وسطية في كل فترة واحسب الدالتين. الفرق \(f(x)-g(x)\) الموجب يعني أن \(f\) أعلى. هذه الخطوة تمنع تظليل منطقة معكوسة، وتضمن أن التكامل يُكتب بترتيب «الأعلى ناقص الأسفل» للحصول على مساحة موجبة.