旋轉體

如何在線上視覺化旋轉體

August 2, 2026 onlinegraphing.com

以圓環法計算體積時，可使用下列公式：

V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx

旋轉體由平面區域繞一條直線旋轉形成。視覺化能幫助判斷外半徑、內半徑、截面和積分變數。

1. 定義平面區域

輸入上邊界與下邊界，並設定左右端點。先確認二維陰影區域正確，再產生旋轉體。

繞 x 軸旋轉通常使用垂直切片，繞 y 軸旋轉可以使用水平切片或柱殼。旋轉軸也可以是 \(y=c\) 或 \(x=c\)。

若截面沒有孔洞，體積元為 \(\pi R(x)^2\,dx\)；若有內半徑，則為 \(\pi[R(x)^2-r(x)^2]\,dx\)。

柱殼法使用 \(2\pi\cdot\text{半徑}\cdot\text{高度}\)。當切片方向與圓盤法不方便時，柱殼法可能更簡潔。

在旋轉體視覺化工具中顯示兩個底面、截面、半徑和旋轉軸，確認幾何量與積分式一致。

切片垂直於旋轉軸時通常形成圓盤或圓環；切片平行於旋轉軸時通常形成柱殼。選擇能夠直接用給定函數表示半徑和高度的方法。

旋轉軸不在座標軸上時，半徑是曲線到旋轉軸的距離，而不是簡單的函數值。外半徑和內半徑必須保持非負並按大小排列。