Disk, halka ve silindirik kabuk yöntemlerinin tümü dönel cisimlerin hacmini hesaplar. En iyi yöntem çoğu zaman bölgeyi en az parçayla ve en basit sınır fonksiyonlarıyla tanımlayandır.
1. Disk yöntemi
Disk, iç yarıçapı sıfır olan bir halkadır. \(y=R(x)\) eğrisinin altındaki bölge x ekseni çevresinde döndürülürse
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
Örnek: \(y=\sqrt{x}\) eğrisinin altındaki bölgeyi \(x=0\) ile \(x=4\) arasında x ekseni çevresinde döndürün:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. Halka yöntemi
Bir halkanın dış yarıçapı \(R\), iç yarıçapı \(r\) olur:
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
Dönme eksenine dik dilimler ortası delik halkalar oluşturduğunda halka yöntemini kullanın. Eksen kaydırılmışsa uzaklıklar yalnızca y değerlerinden kopyalanmamalı, eksene olan gerçek mesafe olarak ölçülmelidir.
Örneğin \(y=2\) ve \(y=x\) arasındaki bölgenin \([0,2]\) aralığında x ekseni çevresinde döndürülmesi
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
hacmini verir.
3. Silindirik kabuk yöntemi
Düşey bir şerit y ekseni çevresinde döndürülünce silindirik kabuk oluşturur. Hacim elemanı çevre × yükseklik × kalınlıktır:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{radius})(\text{height})\,dx.\]
y ekseni çevresindeki dönüşte yarıçap çoğu zaman x’tir. \(x=c\) gibi kaydırılmış düşey bir doğru çevresinde yarıçap \(|x-c|\) türünden bir uzaklıktır.
4. Aynı bölgede halka ve kabukları karşılaştırın
\(y=2x\) ile \(y=x^2\) arasındaki bölgeyi \(0\le x\le2\) için y ekseni çevresinde döndürelim.
Kabuklar: yarıçap \(x\), yükseklik \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
Halkalar: x’i y cinsinden çözün. Sağ sınır \(x=\sqrt{y}\), sol sınır \(x=y/2\) ve \(0\le y\le4\) olur:
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
İki yöntem de doğrudur; ancak kabuk kurulumu iki eğriyi de x’e göre çözme gereksinimini ortadan kaldırır ve daha kısadır.
5. Pratik karar kuralı
| Soru | Olası yöntem |
|---|---|
| Dik dilimler dolu çemberler mi oluşturuyor? | Diskler |
| Dik dilimler ortası delik halkalar mı oluşturuyor? | Halkalar |
| Paralel dilimler basit yüksekliğe sahip silindirler mi oluşturuyor? | Kabuklar |
| Bir yöntem diğer değişkene göre çözmeyi mi gerektiriyor? | Diğer yöntemi deneyin |
| Bölgenin sınırı aralık içinde değişiyor mu? | Daha az parçalı integral gerektiren yöntemi seçin |
6. Kaydırılmış eksenler
\(y=k\) çevresinde dönerken yarıçaplar \(|f(x)-k|\) gibi düşey uzaklıklardır. \(x=c\) çevresinde kabuk yarıçapları \(|x-c|\) gibi yatay uzaklıklardır. Ekseni açıkça çizmek işaret ve yarıçap hatalarını önler.
7. İntegral kurmadan önce görselleştirin
Dönel Cisim görselleştiricisini kullanarak üreten bölgeyi, ekseni, dış ve iç yüzeyleri ve örnek kesitleri gösterin. Görselleştirme kalkülüs kurulumunun yerini almaz; ancak yanlış yarıçapı veya istenmeyen ekseni fark etmeyi çok kolaylaştırır.
Yaygın hatalar
- Eksen kaydırılmışken fonksiyon değerlerini doğrudan yarıçap olarak kullanmak.
- Dış ve iç yarıçapları ters çevirmek.
- Kabuk yönteminde \(2\pi\) çarpanını unutmak.
- Kabuk yüksekliğini üst eksi alt yerine “üst artı alt” olarak almak.
- dy integralinde x sınırları veya dx integralinde y sınırları kullanmak.
- Bölgeyi çizmeden yöntemi seçmek.
Döndürülecek bölgeyi kurmadan önce eğriler arasındaki alanı gözden geçirin ve giriş düzeyindeki dönel cisim kılavuzuyla karşılaştırın.