Os métodos dos discos, anéis e cascas cilíndricas calculam volumes de sólidos de revolução. O melhor método costuma ser aquele que descreve a região com menos partes e com as funções de fronteira mais simples.
1. Método dos discos
Um disco é um anel com raio interno zero. Se uma região sob \(y=R(x)\) gira em torno do eixo x,
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
Exemplo: gire a região sob \(y=\sqrt{x}\) de \(x=0\) a \(x=4\) em torno do eixo x:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. Método dos anéis
Um anel tem raio externo \(R\) e raio interno \(r\):
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
Use anéis quando fatias perpendiculares ao eixo de rotação formam coroas circulares. As distâncias devem ser medidas a partir do eixo, e não simplesmente copiadas dos valores de y quando o eixo está deslocado.
Por exemplo, ao girar a região entre \(y=2\) e \(y=x\) em \([0,2]\) em torno do eixo x, obtemos
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. Método das cascas cilíndricas
Uma faixa vertical girada em torno do eixo y forma uma casca cilíndrica. Seu elemento de volume é circunferência vezes altura vezes espessura:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{raio})(\text{altura})\,dx.\]
Para rotação em torno do eixo y, o raio costuma ser x. Para rotação em torno de uma reta vertical deslocada \(x=c\), o raio é uma distância como \(|x-c|\).
4. Compare anéis e cascas na mesma região
Considere a região entre \(y=2x\) e \(y=x^2\) para \(0\le x\le2\), girada em torno do eixo y.
Cascas: raio \(x\), altura \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
Anéis: isole x em função de y. A fronteira direita é \(x=\sqrt{y}\) e a esquerda é \(x=y/2\), com \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
As duas montagens estão corretas, mas a das cascas evita isolar x nas duas curvas e é mais curta.
5. Regra prática de decisão
| Pergunta | Método provável |
|---|---|
| As fatias perpendiculares formam círculos maciços? | Discos |
| As fatias perpendiculares formam anéis com um furo? | Anéis |
| As fatias paralelas formam cilindros de altura simples? | Cascas |
| Um método exige isolar a outra variável? | Experimente o outro método |
| A fronteira da região muda durante o intervalo? | Escolha o método com menos integrais separadas |
6. Eixos deslocados
Ao girar em torno de \(y=k\), os raios são distâncias verticais como \(|f(x)-k|\). Em torno de \(x=c\), os raios das cascas são distâncias horizontais como \(|x-c|\). Desenhar explicitamente o eixo evita erros de sinal e de raio.
7. Visualize antes de integrar
Use o visualizador de Sólidos de Revolução para mostrar a região geradora, o eixo, as superfícies externa e interna e seções transversais representativas. A visualização não substitui a montagem do cálculo, mas torna muito mais fácil perceber raios incorretos ou um eixo diferente do pretendido.
Erros comuns
- Usar valores da função como raios quando o eixo está deslocado.
- Inverter os raios externo e interno.
- Esquecer o fator \(2\pi\) no método das cascas.
- Usar “superior mais inferior” como altura da casca, em vez de superior menos inferior.
- Misturar limites em x com uma integral em dy ou limites em y com uma integral em dx.
- Escolher um método antes de esboçar a região.
Reveja área entre curvas antes de montar a rotação e compare com o guia introdutório de sólidos de revolução.