Методы дисков, шайб и цилиндрических оболочек вычисляют объёмы тел вращения. Обычно лучший метод — тот, который описывает область минимальным числом частей и наиболее простыми граничными функциями.
1. Метод дисков
Диск — это шайба с нулевым внутренним радиусом. Если область под \(y=R(x)\) вращается вокруг оси x, то
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
Пример: вращаем область под \(y=\sqrt{x}\) от \(x=0\) до \(x=4\) вокруг оси x:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. Метод шайб
Шайба имеет внешний радиус \(R\) и внутренний радиус \(r\):
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
Метод шайб используют, когда сечения, перпендикулярные оси вращения, образуют кольца. Если ось смещена, радиусы измеряются как расстояния до оси, а не просто копируются из значений y.
Например, вращение области между \(y=2\) и \(y=x\) на \([0,2]\) вокруг оси x даёт
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. Метод цилиндрических оболочек
Вертикальная полоска при вращении вокруг оси y образует цилиндрическую оболочку. Элемент объёма равен произведению длины окружности, высоты и толщины:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{радиус})(\text{высота})\,dx.\]
При вращении вокруг оси y радиус часто равен x. При вращении вокруг смещённой вертикальной прямой \(x=c\) радиус — расстояние, например \(|x-c|\).
4. Сравните шайбы и оболочки на одной области
Возьмём область между \(y=2x\) и \(y=x^2\) при \(0\le x\le2\) и вращаем её вокруг оси y.
Оболочки: радиус \(x\), высота \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
Шайбы: выразим x через y. Правая граница — \(x=\sqrt{y}\), левая — \(x=y/2\), а \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
Оба способа верны, но оболочки не требуют выражать обе кривые через x и дают более короткую запись.
5. Практическое правило выбора
| Вопрос | Вероятный метод |
|---|---|
| Перпендикулярные сечения дают сплошные круги? | Диски |
| Перпендикулярные сечения дают кольца с отверстием? | Шайбы |
| Параллельные сечения дают цилиндры с простой высотой? | Оболочки |
| Один метод требует выражать функции через другую переменную? | Попробуйте другой метод |
| Граница области меняется внутри промежутка? | Выберите метод с меньшим числом разбиений интеграла |
6. Смещённые оси
При вращении вокруг \(y=k\) радиусы — вертикальные расстояния, например \(|f(x)-k|\). Вокруг \(x=c\) радиусы оболочек — горизонтальные расстояния, например \(|x-c|\). Явное изображение оси предотвращает ошибки со знаком и радиусом.
7. Визуализируйте до интегрирования
Используйте визуализатор тела вращения, чтобы увидеть образующую область, ось, внешнюю и внутреннюю поверхности и характерные поперечные сечения. Визуализация не заменяет математическую постановку, но помогает быстро заметить неверный радиус или ошибочно выбранную ось.
Типичные ошибки
- Использование значений функции как радиусов при смещённой оси.
- Перестановка внешнего и внутреннего радиусов.
- Пропуск множителя \(2\pi\) в методе оболочек.
- Вычисление высоты оболочки как «верхняя плюс нижняя», а не «верхняя минус нижняя».
- Смешение пределов по x с интегралом dy или пределов по y с интегралом dx.
- Выбор метода до построения области.
Перед вращением повторите площадь между кривыми и сравните с вводным руководством по телам вращения.