Phương pháp đĩa, vòng đệm và vỏ trụ đều dùng để tính thể tích khối tròn xoay. Phương pháp tốt nhất thường là phương pháp mô tả miền bằng ít phần nhất và các hàm biên đơn giản nhất.
1. Phương pháp đĩa
Đĩa là một vòng đệm có bán kính trong bằng 0. Nếu miền dưới \(y=R(x)\) được quay quanh trục x,
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
Ví dụ: quay miền dưới \(y=\sqrt{x}\) từ \(x=0\) đến \(x=4\) quanh trục x:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. Phương pháp vòng đệm
Vòng đệm có bán kính ngoài \(R\) và bán kính trong \(r\):
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
Dùng vòng đệm khi các lát cắt vuông góc với trục quay tạo thành những vành tròn có lỗ. Khoảng cách phải được đo từ trục quay, không được chỉ sao chép giá trị y khi trục đã tịnh tiến.
Chẳng hạn, quay miền giữa \(y=2\) và \(y=x\) trên \([0,2]\) quanh trục x cho
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. Phương pháp vỏ trụ
Một dải thẳng đứng quay quanh trục y tạo thành vỏ trụ. Phần tử thể tích bằng chu vi nhân chiều cao nhân độ dày:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{bán kính})(\text{chiều cao})\,dx.\]
Khi quay quanh trục y, bán kính thường là x. Khi quay quanh đường thẳng đứng đã tịnh tiến \(x=c\), bán kính là một khoảng cách như \(|x-c|\).
4. So sánh vòng đệm và vỏ trụ trên cùng một miền
Xét miền giữa \(y=2x\) và \(y=x^2\) với \(0\le x\le2\), quay quanh trục y.
Vỏ trụ: bán kính \(x\), chiều cao \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
Vòng đệm: giải x theo y. Biên phải là \(x=\sqrt{y}\), biên trái là \(x=y/2\), với \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
Cả hai đều đúng, nhưng cách dùng vỏ trụ không cần giải cả hai đường theo x nên ngắn hơn.
5. Quy tắc lựa chọn thực tế
| Câu hỏi | Phương pháp có khả năng phù hợp |
|---|---|
| Lát cắt vuông góc tạo hình tròn đặc? | Đĩa |
| Lát cắt vuông góc tạo vành tròn có lỗ? | Vòng đệm |
| Lát cắt song song tạo vỏ trụ có chiều cao đơn giản? | Vỏ trụ |
| Một phương pháp buộc phải giải theo biến còn lại? | Thử phương pháp kia |
| Biên của miền thay đổi giữa chừng? | Chọn cách cần ít tích phân tách nhất |
6. Trục quay đã tịnh tiến
Khi quay quanh \(y=k\), bán kính là khoảng cách thẳng đứng như \(|f(x)-k|\). Khi quay quanh \(x=c\), bán kính vỏ trụ là khoảng cách nằm ngang như \(|x-c|\). Vẽ rõ trục quay giúp tránh sai dấu và sai bán kính.
7. Trực quan hóa trước khi tính tích phân
Dùng công cụ trực quan hóa Khối tròn xoay để hiển thị miền sinh, trục quay, mặt ngoài, mặt trong và các mặt cắt đại diện. Hình trực quan không thay thế bước lập tích phân, nhưng giúp phát hiện bán kính sai hoặc trục quay ngoài ý muốn dễ hơn nhiều.
Lỗi thường gặp
- Dùng giá trị hàm làm bán kính khi trục quay đã tịnh tiến.
- Đảo bán kính ngoài và bán kính trong.
- Quên hệ số \(2\pi\) trong phương pháp vỏ trụ.
- Lấy chiều cao vỏ trụ là “trên cộng dưới” thay vì trên trừ dưới.
- Dùng cận x cho tích phân theo dy hoặc cận y cho tích phân theo dx.
- Chọn phương pháp trước khi phác họa miền.
Hãy xem lại diện tích giữa hai đường cong trước khi thiết lập miền quay và so sánh với hướng dẫn nhập môn về khối tròn xoay.