วิธีจาน วิธีวงแหวน และวิธีเปลือกทรงกระบอกใช้คำนวณปริมาตรของทรงตันจากการหมุนได้ทั้งหมด วิธีที่ดีที่สุดมักเป็นวิธีที่อธิบายบริเวณด้วยจำนวนส่วนที่น้อยที่สุดและฟังก์ชันขอบเขตที่ง่ายที่สุด
1. วิธีจาน
จานคือวงแหวนที่รัศมีด้านในเป็นศูนย์ ถ้าหมุนบริเวณใต้ \(y=R(x)\) รอบแกน x แล้ว
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
ตัวอย่าง: หมุนบริเวณใต้ \(y=\sqrt{x}\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=4\) รอบแกน x:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. วิธีวงแหวน
วงแหวนมีรัศมีด้านนอก \(R\) และรัศมีด้านใน \(r\):
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
ใช้วิธีวงแหวนเมื่อแถบที่ตั้งฉากกับแกนหมุนทำให้เกิดวงแหวนที่มีรู ต้องวัดระยะจากแกนหมุน ไม่ใช่นำค่า y มาใช้ตรง ๆ เมื่อแกนถูกเลื่อน
ตัวอย่างเช่น การหมุนบริเวณระหว่าง \(y=2\) และ \(y=x\) บน \([0,2]\) รอบแกน x ให้
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. วิธีเปลือกทรงกระบอก
แถบแนวตั้งที่หมุนรอบแกน y ทำให้เกิดเปลือกทรงกระบอก องค์ประกอบปริมาตรคือเส้นรอบวงคูณความสูงคูณความหนา:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{รัศมี})(\text{ความสูง})\,dx.\]
สำหรับการหมุนรอบแกน y รัศมีมักเป็น x หากหมุนรอบเส้นตั้งที่เลื่อนเป็น \(x=c\) รัศมีคือระยะ เช่น \(|x-c|\)
4. เปรียบเทียบวงแหวนกับเปลือกในบริเวณเดียวกัน
พิจารณาบริเวณระหว่าง \(y=2x\) กับ \(y=x^2\) สำหรับ \(0\le x\le2\) แล้วหมุนรอบแกน y
เปลือก: รัศมี \(x\) ความสูง \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
วงแหวน: แก้ x ในรูปของ y ขอบขวาคือ \(x=\sqrt{y}\) และขอบซ้ายคือ \(x=y/2\) โดย \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
ทั้งสองวิธีถูกต้อง แต่วิธีเปลือกไม่ต้องแก้เส้นโค้งทั้งสองหา x และเขียนได้สั้นกว่า
5. หลักตัดสินใจในทางปฏิบัติ
| คำถาม | วิธีที่น่าจะเหมาะ |
|---|---|
| แถบที่ตั้งฉากทำให้เกิดวงกลมตันหรือไม่? | จาน |
| แถบที่ตั้งฉากทำให้เกิดวงแหวนที่มีรูหรือไม่? | วงแหวน |
| แถบที่ขนานกับแกนทำให้เกิดทรงกระบอกที่มีความสูงเขียนง่ายหรือไม่? | เปลือก |
| วิธีหนึ่งต้องแก้สมการหาอีกตัวแปรหรือไม่? | ลองใช้อีกวิธี |
| ขอบเขตของบริเวณเปลี่ยนระหว่างช่วงหรือไม่? | เลือกวิธีที่ต้องแบ่งปริพันธ์น้อยกว่า |
6. แกนที่ถูกเลื่อน
เมื่อหมุนรอบ \(y=k\) รัศมีเป็นระยะในแนวตั้ง เช่น \(|f(x)-k|\) เมื่อหมุนรอบ \(x=c\) รัศมีของเปลือกเป็นระยะในแนวนอน เช่น \(|x-c|\) การวาดแกนหมุนอย่างชัดเจนช่วยป้องกันความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายและรัศมี
7. สร้างภาพก่อนหาปริพันธ์
ใช้ เครื่องมือแสดงทรงตันจากการหมุน เพื่อดูบริเวณกำเนิด แกน พื้นผิวด้านนอกและด้านใน และหน้าตัดตัวอย่าง ภาพไม่ได้แทนการตั้งปริพันธ์ แต่ช่วยให้พบรัศมีที่ผิดหรือแกนที่ไม่ตั้งใจเลือกได้ง่ายขึ้นมาก
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- ใช้ค่าฟังก์ชันเป็นรัศมีเมื่อแกนหมุนถูกเลื่อน
- สลับรัศมีด้านนอกกับด้านใน
- ลืมตัวประกอบ \(2\pi\) ในวิธีเปลือก
- ใช้ “ด้านบนบวกด้านล่าง” เป็นความสูงของเปลือกแทนด้านบนลบด้านล่าง
- ใช้ขอบเขต x กับปริพันธ์ dy หรือขอบเขต y กับปริพันธ์ dx
- เลือกวิธีก่อนวาดภาพบริเวณ
ทบทวน พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง ก่อนตั้งบริเวณที่จะหมุน และเปรียบเทียบกับ คู่มือเบื้องต้นเรื่องทรงตันจากการหมุน