圓盤法、圓環法和圓柱殼法都可以計算旋轉體的體積。通常，能夠用最少分段和最簡單邊界函數描述區域的方法，就是最佳選擇。
1. 圓盤法
圓盤可以看作內半徑為零的圓環。若函數 \(y=R(x)\) 下方的區域繞 x 軸旋轉，則
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
例如，將 \(y=\sqrt{x}\) 下方從 \(x=0\) 到 \(x=4\) 的區域繞 x 軸旋轉：
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. 圓環法
圓環的外半徑為 \(R\)，內半徑為 \(r\)：
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
當垂直於旋轉軸的切片形成帶孔圓環時，使用圓環法。半徑必須從旋轉軸量起；當旋轉軸發生平移時，不能簡單把函數的 y 值直接當作半徑。
例如，將 \(y=2\) 與 \(y=x\) 在 \([0,2]\) 上圍成的區域繞 x 軸旋轉，得到
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. 圓柱殼法
一條垂直小條繞 y 軸旋轉會形成圓柱殼。體積微元等於周長乘高度再乘厚度：
\[V=2\pi\int_a^b(\text{半徑})(\text{高度})\,dx.\]
繞 y 軸旋轉時，半徑通常是 x。若繞平移後的垂直直線 \(x=c\) 旋轉，半徑應取類似 \(|x-c|\) 的距離。
4. 對同一區域比較圓環法與圓柱殼法
考慮 \(y=2x\) 與 \(y=x^2\) 在 \(0\le x\le2\) 上圍成的區域，並將其繞 y 軸旋轉。
圓柱殼法：半徑為 \(x\)，高度為 \(2x-x^2\)：
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
圓環法：需要把 x 表示為 y 的函數。右邊界為 \(x=\sqrt{y}\)，左邊界為 \(x=y/2\)，並且 \(0\le y\le4\)：
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
兩種方法都正確，但圓柱殼法不需要把兩條曲線都解成 x 的函數，因此更簡短。
5. 實用的選擇規則
| 問題 | 可能適用的方法 |
|---|---|
| 垂直於旋轉軸的切片是否形成實心圓？ | 圓盤法 |
| 垂直於旋轉軸的切片是否形成帶孔圓環？ | 圓環法 |
| 平行於旋轉軸的切片是否形成高度易求的圓柱殼？ | 圓柱殼法 |
| 某種方法是否需要把函數解成另一個變數？ | 嘗試另一種方法 |
| 區域的邊界是否在中途發生變化？ | 選擇需要較少分段積分的方法 |
6. 平移後的旋轉軸
繞 \(y=k\) 旋轉時，半徑是垂直距離，例如 \(|f(x)-k|\)。繞 \(x=c\) 旋轉時，柱殼半徑是水平距離，例如 \(|x-c|\)。在圖中明確畫出旋轉軸，可以避免符號和半徑錯誤。
7. 積分前先視覺化
使用旋轉體視覺化工具顯示生成區域、旋轉軸、外表面、內表面和代表性截面。視覺化不能代替微積分建模，但能更容易發現半徑錯誤或誤選旋轉軸。
常見錯誤
- 旋轉軸平移後，仍直接把函數值當作半徑。
- 把外半徑和內半徑的順序顛倒。
- 圓柱殼法中忘記因子 \(2\pi\)。
- 把柱殼高度寫成“上方加下方”，而不是上方減下方。
- 在對 y 積分時使用 x 的上下限，或在對 x 積分時使用 y 的上下限。
- 還沒有畫出區域就先決定使用哪種方法。