I metodi dei dischi, degli anelli e dei gusci cilindrici calcolano tutti il volume dei solidi di rotazione. Il metodo migliore è di solito quello che descrive la regione con il minor numero di parti e con le funzioni di confine più semplici.
1. Metodo dei dischi
Un disco è un anello con raggio interno nullo. Se una regione sotto \(y=R(x)\) ruota attorno all’asse x,
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
Esempio: ruota la regione sotto \(y=\sqrt{x}\) da \(x=0\) a \(x=4\) attorno all’asse x:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. Metodo degli anelli
Un anello ha raggio esterno \(R\) e raggio interno \(r\):
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
Usa gli anelli quando le sezioni perpendicolari all’asse di rotazione producono anelli. Le distanze devono essere misurate dall’asse, non semplicemente copiate dai valori di y quando l’asse è traslato.
Per esempio, ruotando la regione tra \(y=2\) e \(y=x\) in \([0,2]\) attorno all’asse x si ottiene
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. Metodo dei gusci cilindrici
Una striscia verticale ruotata attorno all’asse y forma un guscio cilindrico. Il suo elemento di volume è circonferenza per altezza per spessore:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{raggio})(\text{altezza})\,dx.\]
Per una rotazione attorno all’asse y, il raggio è spesso x. Per una rotazione attorno a una retta verticale traslata \(x=c\), il raggio è una distanza come \(|x-c|\).
4. Confronta anelli e gusci sulla stessa regione
Considera la regione tra \(y=2x\) e \(y=x^2\) per \(0\le x\le2\), ruotata attorno all’asse y.
Gusci: raggio \(x\), altezza \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
Anelli: risolvi rispetto a x in funzione di y. Il confine destro è \(x=\sqrt{y}\) e il confine sinistro è \(x=y/2\), con \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
Entrambe le impostazioni sono corrette, ma quella dei gusci evita di isolare x in entrambe le curve ed è più breve.
5. Una regola pratica di scelta
| Domanda | Metodo probabile |
|---|---|
| Le sezioni perpendicolari formano cerchi pieni? | Dischi |
| Le sezioni perpendicolari formano anelli con un foro? | Anelli |
| Le sezioni parallele formano cilindri di altezza semplice? | Gusci |
| Un metodo richiede di risolvere rispetto all’altra variabile? | Prova l’altro metodo |
| Il confine della regione cambia durante l’intervallo? | Scegli il metodo con meno integrali separati |
6. Assi traslati
Quando si ruota attorno a \(y=k\), i raggi sono distanze verticali come \(|f(x)-k|\). Attorno a \(x=c\), i raggi dei gusci sono distanze orizzontali come \(|x-c|\). Disegnare esplicitamente l’asse evita errori di segno e di raggio.
7. Visualizza prima di integrare
Usa il visualizzatore di solidi di rotazione per mostrare la regione generatrice, l’asse, le superfici esterna e interna e sezioni trasversali rappresentative. La visualizzazione non sostituisce l’impostazione del calcolo, ma rende molto più facile individuare raggi errati o un asse non desiderato.
Errori comuni
- Usare i valori della funzione come raggi quando l’asse è traslato.
- Invertire raggio esterno e raggio interno.
- Dimenticare il fattore \(2\pi\) nel metodo dei gusci.
- Usare “sopra più sotto” come altezza del guscio invece di sopra meno sotto.
- Mescolare estremi in x con un integrale in dy o estremi in y con un integrale in dx.
- Scegliere un metodo prima di disegnare la regione.
Ripassa l’area tra curve prima di impostare una regione ruotata e confronta con la guida introduttiva ai solidi di rotazione.