تحسب طرق القرص والحلقة والقشرة الأسطوانية كلها حجوم الأجسام الدورانية. والطريقة الأفضل عادة هي التي تصف المنطقة بأقل عدد من الأجزاء وبأبسط دوال للحدود.
1. طريقة القرص
القرص حلقة نصف قطرها الداخلي صفر. إذا دارت منطقة تحت \(y=R(x)\) حول محور x، فإن
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
مثال: أدر المنطقة تحت \(y=\sqrt{x}\) من \(x=0\) إلى \(x=4\) حول محور x:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. طريقة الحلقة
للحلقة نصف قطر خارجي \(R\) ونصف قطر داخلي \(r\):
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
استخدم الحلقات عندما تنتج الشرائح العمودية على محور الدوران حلقات ذات ثقب. ويجب قياس المسافات من المحور، لا نسخ قيم y مباشرة عندما يكون المحور مزاحًا.
مثلًا، دوران المنطقة بين \(y=2\) و\(y=x\) على \([0,2]\) حول محور x يعطي
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. طريقة القشرة الأسطوانية
يؤدي دوران شريحة رأسية حول محور y إلى قشرة أسطوانية. وعنصر حجمها هو المحيط مضروبًا في الارتفاع والسماكة:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{نصف القطر})(\text{الارتفاع})\,dx.\]
عند الدوران حول محور y يكون نصف القطر غالبًا x. وعند الدوران حول مستقيم رأسي مزاح \(x=c\) يكون نصف القطر مسافة مثل \(|x-c|\).
4. قارن الحلقات والقشور للمنطقة نفسها
خذ المنطقة بين \(y=2x\) و\(y=x^2\) عندما \(0\le x\le2\)، وأدرها حول محور y.
القشور: نصف القطر \(x\)، والارتفاع \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
الحلقات: حل بالنسبة إلى x بدلالة y. الحد الأيمن هو \(x=\sqrt{y}\) والحد الأيسر هو \(x=y/2\)، مع \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
الطريقتان صحيحتان، لكن إعداد القشور يتجنب حل المنحنيين بالنسبة إلى x وهو أقصر.
5. قاعدة عملية للاختيار
| السؤال | الطريقة المرجحة |
|---|---|
| هل تصنع الشرائح العمودية دوائر مصمتة؟ | الأقراص |
| هل تصنع الشرائح العمودية حلقات ذات ثقب؟ | الحلقات |
| هل تصنع الشرائح الموازية أسطوانات بارتفاع بسيط؟ | القشور |
| هل تتطلب إحدى الطريقتين الحل بالنسبة إلى المتغير الآخر؟ | جرّب الطريقة الأخرى |
| هل تتغير حدود المنطقة في منتصفها؟ | اختر الطريقة ذات التكاملات المجزأة الأقل |
6. المحاور المزاحة
عند الدوران حول \(y=k\) تكون أنصاف الأقطار مسافات رأسية مثل \(|f(x)-k|\). وحول \(x=c\) تكون أنصاف أقطار القشور مسافات أفقية مثل \(|x-c|\). رسم المحور بوضوح يمنع أخطاء الإشارة ونصف القطر.
7. تصوّر الجسم قبل التكامل
استخدم أداة تصور الجسم الدوراني لإظهار المنطقة المولدة والمحور والسطحين الخارجي والداخلي والمقاطع العرضية النموذجية. لا يغني التصور عن إعداد التكامل، لكنه يجعل اكتشاف نصف قطر خاطئ أو محور غير مقصود أسهل بكثير.
أخطاء شائعة
- استخدام قيم الدالة أنصاف أقطار عندما يكون المحور مزاحًا.
- عكس نصفي القطر الخارجي والداخلي.
- نسيان العامل \(2\pi\) في طريقة القشور.
- استعمال «الأعلى زائد الأسفل» لارتفاع القشرة بدل الأعلى ناقص الأسفل.
- خلط حدود x مع تكامل dy أو حدود y مع تكامل dx.
- اختيار الطريقة قبل رسم المنطقة.
راجع المساحة بين منحنيين قبل إعداد منطقة مدارة، وقارن بـ الدليل التمهيدي للأجسام الدورانية.