Les méthodes des disques, des rondelles et des coquilles cylindriques permettent toutes de calculer le volume d’un solide de révolution. La meilleure méthode est généralement celle qui décrit la région avec le moins de morceaux et les fonctions frontières les plus simples.
1. Méthode des disques
Un disque est une rondelle dont le rayon intérieur est nul. Si la région située sous \(y=R(x)\) tourne autour de l’axe des x,
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
Exemple : faisons tourner la région sous \(y=\sqrt{x}\), de \(x=0\) à \(x=4\), autour de l’axe des x :
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. Méthode des rondelles
Une rondelle possède un rayon extérieur \(R\) et un rayon intérieur \(r\) :
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
Utilisez les rondelles lorsque des tranches perpendiculaires à l’axe de rotation forment des anneaux. Les distances doivent être mesurées depuis l’axe, et non simplement recopiées à partir des valeurs de y lorsque l’axe est décalé.
Par exemple, la rotation autour de l’axe des x de la région comprise entre \(y=2\) et \(y=x\) sur \([0,2]\) donne
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. Méthode des coquilles cylindriques
Une bande verticale tournée autour de l’axe des y forme une coquille cylindrique. Son élément de volume est le produit de la circonférence, de la hauteur et de l’épaisseur :
\[V=2\pi\int_a^b(\text{rayon})(\text{hauteur})\,dx.\]
Pour une rotation autour de l’axe des y, le rayon est souvent x. Pour une rotation autour d’une droite verticale décalée \(x=c\), le rayon est une distance telle que \(|x-c|\).
4. Comparer rondelles et coquilles sur une même région
Considérons la région comprise entre \(y=2x\) et \(y=x^2\) pour \(0\le x\le2\), tournée autour de l’axe des y.
Coquilles : rayon \(x\), hauteur \(2x-x^2\) :
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
Rondelles : exprimons x en fonction de y. La frontière droite est \(x=\sqrt{y}\) et la frontière gauche est \(x=y/2\), avec \(0\le y\le4\) :
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
Les deux méthodes sont correctes, mais les coquilles évitent de résoudre les deux courbes par rapport à x et donnent une écriture plus courte.
5. Règle de décision pratique
| Question | Méthode probable |
|---|---|
| Les tranches perpendiculaires forment-elles des cercles pleins ? | Disques |
| Les tranches perpendiculaires forment-elles des anneaux avec un trou ? | Rondelles |
| Les tranches parallèles forment-elles des cylindres de hauteur simple ? | Coquilles |
| Une méthode oblige-t-elle à isoler l’autre variable ? | Essayez l’autre méthode |
| La frontière de la région change-t-elle en cours de route ? | Choisissez la méthode qui nécessite le moins de découpages |
6. Axes décalés
Lors d’une rotation autour de \(y=k\), les rayons sont des distances verticales telles que \(|f(x)-k|\). Autour de \(x=c\), les rayons des coquilles sont des distances horizontales telles que \(|x-c|\). Tracer explicitement l’axe évite les erreurs de signe et de rayon.
7. Visualiser avant d’intégrer
Utilisez le visualiseur de solides de révolution pour afficher la région génératrice, l’axe, les surfaces extérieure et intérieure ainsi que des sections représentatives. La visualisation ne remplace pas la mise en équation, mais elle permet de repérer beaucoup plus facilement un rayon incorrect ou un axe involontaire.
Erreurs fréquentes
- Utiliser les valeurs des fonctions comme rayons lorsque l’axe est décalé.
- Inverser le rayon extérieur et le rayon intérieur.
- Oublier le facteur \(2\pi\) dans la méthode des coquilles.
- Calculer la hauteur d’une coquille par « haut plus bas » au lieu de « haut moins bas ».
- Mélanger des bornes en x avec une intégrale en dy, ou des bornes en y avec une intégrale en dx.
- Choisir une méthode avant d’avoir esquissé la région.
Révisez l’aire entre deux courbes avant de mettre une région en rotation, puis comparez avec le guide d’introduction aux solides de révolution.