원판법, 와셔법, 원통껍질법은 모두 회전체의 부피를 구합니다. 가장 좋은 방법은 보통 영역을 가장 적은 조각과 가장 간단한 경계함수로 나타내는 방법입니다.
1. 원판법
원판은 안쪽 반지름이 0인 와셔입니다. \(y=R(x)\) 아래의 영역을 x축 둘레로 회전하면
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
예를 들어 \(y=\sqrt{x}\) 아래에서 \(x=0\)부터 \(x=4\)까지의 영역을 x축 둘레로 회전하면
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. 와셔법
와셔는 바깥 반지름 \(R\)과 안쪽 반지름 \(r\)을 가집니다.
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
회전축에 수직인 조각이 가운데 구멍이 있는 고리를 만들 때 사용합니다. 회전축이 이동해 있다면 반지름은 단순한 y값이 아니라 축에서 잰 거리여야 합니다.
예를 들어 \(y=2\)와 \(y=x\) 사이에서 \([0,2]\) 위의 영역을 x축 둘레로 회전하면
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. 원통껍질법
세로 띠를 y축 둘레로 회전하면 원통껍질이 됩니다. 부피 요소는 둘레×높이×두께입니다.
\[V=2\pi\int_a^b(\text{반지름})(\text{높이})\,dx.\]
y축 둘레 회전에서 반지름은 보통 x입니다. 이동한 수직선 \(x=c\) 둘레에서는 반지름이 \(|x-c|\) 같은 거리입니다.
4. 같은 영역에서 와셔법과 원통껍질법 비교하기
\(y=2x\)와 \(y=x^2\) 사이에서 \(0\le x\le2\)인 영역을 y축 둘레로 회전합니다.
원통껍질법: 반지름은 \(x\), 높이는 \(2x-x^2\)입니다.
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
와셔법: x를 y의 식으로 풉니다. 오른쪽 경계는 \(x=\sqrt{y}\), 왼쪽 경계는 \(x=y/2\)이고 \(0\le y\le4\)입니다.
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
두 방법 모두 맞지만 원통껍질법은 두 곡선을 x에 대해 풀 필요가 없어 더 짧습니다.
5. 실용적인 선택 기준
| 질문 | 적합할 가능성이 큰 방법 |
|---|---|
| 축에 수직인 조각이 속이 찬 원을 만드는가? | 원판법 |
| 축에 수직인 조각이 구멍이 있는 고리를 만드는가? | 와셔법 |
| 축에 평행한 조각이 높이가 간단한 원통을 만드는가? | 원통껍질법 |
| 한 방법에서 다른 변수에 대해 풀어야 하는가? | 다른 방법 시도 |
| 영역의 경계가 중간에 바뀌는가? | 분할 적분이 적은 방법 |
6. 이동한 회전축
\(y=k\) 둘레로 회전할 때 반지름은 \(|f(x)-k|\) 같은 세로 거리입니다. \(x=c\) 둘레에서는 원통껍질 반지름이 \(|x-c|\) 같은 가로 거리입니다. 회전축을 명확히 그리면 부호와 반지름 오류를 줄일 수 있습니다.
7. 적분 전에 시각화하기
회전체 시각화 도구에서 생성 영역, 회전축, 바깥면과 안쪽면, 대표 단면을 표시하십시오. 시각화가 미적분 설정을 대신하지는 않지만 잘못된 반지름이나 의도하지 않은 축을 쉽게 찾게 해 줍니다.
자주 하는 실수
- 회전축이 이동했는데 함수값을 그대로 반지름으로 사용하는 것.
- 바깥 반지름과 안쪽 반지름을 바꾸는 것.
- 원통껍질법의 \(2\pi\)를 빠뜨리는 것.
- 껍질의 높이를 ‘위+아래’로 두고 ‘위−아래’로 하지 않는 것.
- dy 적분에 x 범위를 쓰거나 dx 적분에 y 범위를 쓰는 것.
- 영역을 스케치하기 전에 방법을 고르는 것.
회전 영역을 설정하기 전에 두 곡선 사이의 넓이를 복습하고 회전체 입문 안내와 비교하십시오.