Metode cakram, cincin, dan kulit tabung semuanya digunakan untuk menghitung volume benda putar. Metode terbaik biasanya adalah metode yang menyatakan daerah dengan jumlah bagian paling sedikit dan fungsi batas paling sederhana.
1. Metode cakram
Cakram adalah cincin dengan jari-jari dalam nol. Jika daerah di bawah \(y=R(x)\) diputar terhadap sumbu x, maka
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
Contoh: putar daerah di bawah \(y=\sqrt{x}\) dari \(x=0\) hingga \(x=4\) terhadap sumbu x:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. Metode cincin
Sebuah cincin memiliki jari-jari luar \(R\) dan jari-jari dalam \(r\):
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
Gunakan metode cincin ketika irisan yang tegak lurus terhadap sumbu putar menghasilkan cincin berlubang. Jarak harus diukur dari sumbu putar, bukan sekadar menyalin nilai y ketika sumbunya bergeser.
Sebagai contoh, memutar daerah antara \(y=2\) dan \(y=x\) pada \([0,2]\) terhadap sumbu x memberikan
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. Metode kulit tabung
Jalur vertikal yang diputar terhadap sumbu y membentuk kulit tabung. Elemen volumenya adalah keliling dikali tinggi dikali ketebalan:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{jari-jari})(\text{tinggi})\,dx.\]
Untuk putaran terhadap sumbu y, jari-jari sering kali adalah x. Untuk putaran terhadap garis vertikal yang bergeser \(x=c\), jari-jarinya adalah jarak seperti \(|x-c|\).
4. Bandingkan metode cincin dan kulit pada daerah yang sama
Ambil daerah antara \(y=2x\) dan \(y=x^2\) untuk \(0\le x\le2\), lalu putar terhadap sumbu y.
Kulit tabung: jari-jari \(x\), tinggi \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
Cincin: nyatakan x sebagai fungsi y. Batas kanan adalah \(x=\sqrt{y}\) dan batas kiri adalah \(x=y/2\), dengan \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
Keduanya benar, tetapi bentuk kulit tabung tidak memerlukan penyelesaian kedua kurva terhadap x dan lebih singkat.
5. Aturan praktis untuk memilih metode
| Pertanyaan | Metode yang mungkin |
|---|---|
| Apakah irisan tegak lurus membentuk lingkaran penuh? | Cakram |
| Apakah irisan tegak lurus membentuk cincin berlubang? | Cincin |
| Apakah irisan sejajar membentuk tabung dengan tinggi sederhana? | Kulit tabung |
| Apakah salah satu metode mengharuskan penyelesaian terhadap variabel lain? | Coba metode yang lain |
| Apakah batas daerah berubah di tengah interval? | Pilih metode dengan integral pecahan paling sedikit |
6. Sumbu yang bergeser
Ketika diputar terhadap \(y=k\), jari-jari adalah jarak vertikal seperti \(|f(x)-k|\). Terhadap \(x=c\), jari-jari kulit adalah jarak horizontal seperti \(|x-c|\). Menggambar sumbu putar secara eksplisit membantu mencegah kesalahan tanda dan jari-jari.
7. Visualisasikan sebelum mengintegralkan
Gunakan visualisator Benda Putar untuk menampilkan daerah pembentuk, sumbu, permukaan luar dan dalam, serta penampang perwakilan. Visualisasi tidak menggantikan penyusunan integral kalkulus, tetapi membuat jari-jari yang salah atau sumbu yang tidak dimaksudkan jauh lebih mudah dikenali.
Kesalahan umum
- Menggunakan nilai fungsi sebagai jari-jari ketika sumbu putar bergeser.
- Membalik jari-jari luar dan dalam.
- Lupa faktor \(2\pi\) pada metode kulit tabung.
- Menggunakan “atas ditambah bawah” sebagai tinggi kulit, bukan atas dikurangi bawah.
- Mencampur batas x dengan integral dy atau batas y dengan integral dx.
- Memilih metode sebelum membuat sketsa daerah.
Tinjau luas daerah antara dua kurva sebelum menyusun daerah yang diputar, dan bandingkan dengan panduan pengantar benda putar.