Luas daerah antara dua kurva diperoleh dengan mengintegralkan jarak vertikal atau horizontal keduanya pada interval tempat daerah tersebut terbatas. Grafik sangat membantu karena menunjukkan kurva mana yang berada di atas dan apakah daerah perlu dipecah.
1. Rumus irisan vertikal
Jika \(y=f(x)\) berada di atas \(y=g(x)\) untuk \(a\le x\le b\), maka
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
Integrannya adalah “atas dikurangi bawah”, sehingga menyatakan tinggi vertikal yang tidak negatif.
2. Contoh lengkap: garis dan parabola
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
\[y=2x\qquad\text{dan}\qquad y=x^2.\]
Pertama, tentukan titik potong:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
Pada \([0,2]\), garis berada di atas parabola karena, misalnya, ketika \(x=1\), \(2x=2>1=x^2\). Maka
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Periksa daerah secara visual
Buka alat Arsiran Grafik, gambar 2*x dan x^2, lalu arsir daerah di antara keduanya dari 0 hingga 2. Gambar berarsir harus sesuai dengan batas integral dan urutan atas-dikurangi-bawah.
4. Ketika kedua kurva bertukar posisi
Jika \(f-g\) berubah tanda di dalam interval, satu integral dari \(f-g\) menghasilkan luas bertanda dan dapat saling meniadakan. Pecah integral pada setiap titik potong:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
Dalam praktik, tentukan kurva atas secara terpisah pada setiap subinterval dan hilangkan tanda nilai mutlak dengan menggunakan urutan pengurangan yang benar.
5. Irisan horizontal
Beberapa daerah lebih mudah dinyatakan dengan x sebagai fungsi y. Jika \(x=R(y)\) adalah batas kanan dan \(x=L(y)\) adalah batas kiri untuk \(c\le y\le d\), maka
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Irisan horizontal berguna ketika irisan vertikal memerlukan beberapa integral terpisah.
6. Daerah tak wajar atau tak terbatas
Daerah di dekat asimptot vertikal mungkin memerlukan integral tak wajar. Grafik yang tampak membatasi ekor tipis tidak menjamin luasnya berhingga. Ganti batas asimtotik dengan limit variabel dan uji kekonvergenan sebelum melaporkan suatu nilai.
7. Jawaban numerik dan eksak
Gunakan titik potong eksak jika memungkinkan. Jika persamaan berpotongan pada nilai yang tidak dapat dinyatakan dengan fungsi elementer, pencarian akar numerik dan integrasi numerik dapat digunakan, tetapi nyatakan bahwa hasilnya merupakan pendekatan dan gunakan presisi yang cukup. Grafik membantu memilih interval awal bagi pemecah numerik.
Kesalahan umum
- Menggunakan tepi jendela tampilan sebagai batas integrasi.
- Mengurangkan bawah dikurangi atas dan menerima luas negatif.
- Melewatkan titik potong di dalam interval ketika kedua kurva bertukar posisi.
- Menggunakan integrasi terhadap x ketika integrasi terhadap y jauh lebih sederhana.
- Menganggap setiap daerah yang tampak terbatas secara visual memiliki luas berhingga.
- Membulatkan nilai titik potong terlalu dini.
Untuk daerah yang akan diputar, lanjutkan ke metode cakram, cincin, dan kulit tabung. Untuk membangun grafiknya, lihat cara mengarsir daerah antara dua kurva.