De oppervlakte tussen twee krommen wordt gevonden door hun verticale of horizontale afstand te integreren over het interval waarin het gebied begrensd is. Een grafiek is waardevol omdat zij laat zien welke kromme boven de andere ligt en of het gebied moet worden opgesplitst.
1. Formule met verticale stroken
Als \(y=f(x)\) boven \(y=g(x)\) ligt voor \(a\le x\le b\), dan
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
De integrand is “bovenste min onderste” en stelt dus een niet-negatieve verticale hoogte voor.
2. Uitgewerkt voorbeeld: rechte en parabool
Bepaal de oppervlakte ingesloten door
\[y=2x\qquad\text{and}\qquad y=x^2.\]
Bepaal eerst de snijpunten:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
Op \([0,2]\) ligt de rechte boven de parabool, want bijvoorbeeld bij \(x=1\) geldt \(2x=2>1=x^2\). Daarom
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Controleer het gebied visueel
Open het hulpmiddel voor grafiekinkleuring, teken 2*x en x^2 en kleur het gebied ertussen van 0 tot 2. De ingekleurde afbeelding moet overeenkomen met de integratiegrenzen en de volgorde bovenste-min-onderste.
4. Wanneer de krommen van volgorde wisselen
Als \(f-g\) binnen het interval van teken verandert, geeft één integraal van \(f-g\) een georiënteerde oppervlakte en kunnen delen elkaar opheffen. Splits bij elk snijpunt:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
Bepaal in de praktijk op elk deelinterval afzonderlijk welke kromme boven ligt en verwijder de absolute waarde door de juiste volgorde te gebruiken.
5. Horizontale stroken
Sommige gebieden zijn eenvoudiger te beschrijven met x als functie van y. Als \(x=R(y)\) de rechtergrens en \(x=L(y)\) de linkergrens is voor \(c\le y\le d\), dan
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Horizontale stroken zijn nuttig wanneer verticale stroken meerdere afzonderlijke integralen zouden vereisen.
6. Oneigenlijke of onbegrensde gebieden
Een gebied bij een verticale asymptoot kan een oneigenlijke integraal vereisen. Een grafiek die een dunne staart lijkt in te sluiten, garandeert geen eindige oppervlakte. Vervang het asymptotische eindpunt door een variabele grens en onderzoek de convergentie voordat je een getal rapporteert.
7. Numerieke of exacte antwoorden
Gebruik waar mogelijk exacte snijpunten. Als de vergelijkingen elkaar bij niet-elementaire waarden snijden, kunnen numerieke nulpuntbepaling en numerieke integratie geschikt zijn. Vermeld dan dat het om een benadering gaat en gebruik voldoende nauwkeurigheid. Een grafiek helpt geschikte startintervallen voor de numerieke oplosser te kiezen.
Veelgemaakte fouten
- De randen van het kijkvenster als integratiegrenzen gebruiken.
- Onderste min bovenste berekenen en een negatieve oppervlakte aanvaarden.
- Een intern snijpunt missen waar de krommen van volgorde wisselen.
- Naar x integreren terwijl integratie naar y veel eenvoudiger is.
- Aannemen dat elk visueel begrensd lijkend gebied een eindige oppervlakte heeft.
- Snijpunten te vroeg afronden.
Ga voor een gebied dat wordt geroteerd verder met schijf-, ring- en cilinderschilmethode. Zie voor de grafiekconstructie hoe je het gebied tussen twee krommen inkleurt.