İki eğri arasındaki alan, bölgenin sınırlı olduğu aralık boyunca düşey veya yatay uzaklığın integrali alınarak bulunur. Grafik, hangi eğrinin üstte olduğunu ve bölgenin parçalara ayrılıp ayrılmaması gerektiğini gösterir.
1. Düşey dilim formülü
\(y=f(x)\), \(y=g(x)\) eğrisinin üstünde ve \(a\le x\le b\) ise
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
İntegrand “üst eksi alt” olduğundan negatif olmayan düşey yüksekliği temsil eder.
2. Çözümlü örnek: doğru ve parabol
Şu eğrilerin sınırladığı alanı bulalım:
\[y=2x\qquad\text{ve}\qquad y=x^2.\]
Önce kesişimleri bulun:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
\([0,2]\) aralığında doğru parabolün üstündedir; örneğin \(x=1\) için \(2x=2>1=x^2\). Dolayısıyla
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Bölgeyi görsel olarak doğrulayın
Grafik Gölgelendirme aracını açın, 2*x ve x^2 grafiklerini çizin ve 0 ile 2 arasında kalan bölgeyi gölgelendirin. Görüntü, integral sınırlarıyla ve üst eksi alt sırasıyla uyuşmalıdır.
4. Eğriler yer değiştirdiğinde
\(f-g\) aralık içinde işaret değiştirirse tek bir \(f-g\) integrali işaretli alan verir ve parçalar birbirini götürebilir. Her kesişimde integrali ayırın:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
Uygulamada her alt aralıkta üstteki eğriyi ayrı ayrı belirleyip mutlak değer yerine doğru çıkarma sırasını kullanın.
5. Yatay dilimler
Bazı bölgeler x’i y’nin fonksiyonu olarak yazınca daha kolay tanımlanır. Sağ sınır \(x=R(y)\), sol sınır \(x=L(y)\) ve \(c\le y\le d\) ise
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Yatay dilimler, düşey dilimlerin birkaç ayrı integral gerektireceği bölgelerde kullanışlıdır.
6. Genelleştirilmiş veya sınırsız bölgeler
Düşey asimptot yakınındaki bir bölge genelleştirilmiş integral gerektirebilir. Grafikte ince bir kuyruk kapalı görünse bile alanın sonlu olduğu garanti değildir. Asimptotik ucu değişken bir sınırla değiştirip yakınsaklığı sınayın.
7. Sayısal ve tam sonuçlar
Mümkün olduğunda kesin kesişim değerlerini kullanın. Denklemler temel ifadelerle yazılamayan noktalarda kesişiyorsa sayısal kök bulma ve sayısal integral uygun olabilir; ancak sonucun yaklaşık olduğunu belirtin ve yeterli duyarlılık kullanın. Grafik, sayısal çözücü için başlangıç aralıklarını seçmeye yardım eder.
Yaygın hatalar
- Görüntüleme penceresinin kenarlarını integral sınırı olarak kullanmak.
- Alttan üstü çıkarıp negatif sonucu alan olarak kabul etmek.
- Eğrilerin yer değiştirdiği iç kesişimi kaçırmak.
- y’ye göre integral çok daha kolayken x’e göre integral kullanmak.
- Görsel olarak sınırlı görünen her bölgenin sonlu alanı olduğunu varsaymak.
- Kesişim değerlerini çok erken yuvarlamak.
Bölge döndürülecekse disk, pul ve silindirik kabuk yöntemlerine geçin. Grafik yapımı için iki eğri arasını gölgelendirme kılavuzuna bakın.