Der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven wird berechnet, indem man ihren vertikalen oder horizontalen Abstand über dem Intervall integriert, in dem das Gebiet begrenzt ist. Ein Graph ist besonders hilfreich, weil er zeigt, welche Kurve oberhalb der anderen liegt und ob das Gebiet aufgeteilt werden muss.
1. Formel mit vertikalen Streifen
Liegt \(y=f(x)\) oberhalb von \(y=g(x)\) für \(a\le x\le b\), dann gilt
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
Der Integrand lautet „oben minus unten“ und beschreibt somit eine nichtnegative vertikale Höhe.
2. Beispiel: Gerade und Parabel
Bestimmen Sie den Flächeninhalt, der eingeschlossen wird von
\[y=2x\qquad\text{und}\qquad y=x^2.\]
Bestimmen Sie zuerst die Schnittpunkte:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
Auf \([0,2]\) liegt die Gerade oberhalb der Parabel, denn beispielsweise gilt bei \(x=1\): \(2x=2>1=x^2\). Daher
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Das Gebiet grafisch überprüfen
Öffnen Sie das Werkzeug zum Schraffieren von Graphen, zeichnen Sie 2*x und x^2 und schraffieren Sie das Gebiet zwischen beiden Kurven von 0 bis 2. Die schraffierte Darstellung sollte mit den Integrationsgrenzen und der Reihenfolge oben minus unten übereinstimmen.
4. Wenn die Kurven ihre Reihenfolge wechseln
Wechselt \(f-g\) innerhalb des Intervalls das Vorzeichen, liefert ein einziges Integral von \(f-g\) einen orientierten Flächeninhalt, bei dem sich Teile aufheben können. Teilen Sie an jedem Schnittpunkt:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
Bestimmen Sie in der Praxis auf jedem Teilintervall die obere Kurve getrennt und entfernen Sie den Betrag durch die richtige Reihenfolge.
5. Horizontale Streifen
Manche Gebiete lassen sich leichter beschreiben, wenn x als Funktion von y geschrieben wird. Ist \(x=R(y)\) die rechte Begrenzung und \(x=L(y)\) die linke Begrenzung für \(c\le y\le d\), dann gilt
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Horizontale Streifen sind nützlich, wenn vertikale Streifen mehrere getrennte Integrale erfordern würden.
6. Uneigentliche oder unbeschränkte Gebiete
Ein Gebiet nahe einer senkrechten Asymptote kann ein uneigentliches Integral erfordern. Ein Graph, der scheinbar einen schmalen Ausläufer einschließt, garantiert keinen endlichen Flächeninhalt. Ersetzen Sie den asymptotischen Rand durch einen variablen Grenzwert und prüfen Sie die Konvergenz, bevor Sie einen Zahlenwert angeben.
7. Numerische und exakte Ergebnisse
Verwenden Sie nach Möglichkeit exakte Schnittpunkte. Treffen sich die Gleichungen bei nicht elementar darstellbaren Werten, können numerische Nullstellensuche und numerische Integration sinnvoll sein. Kennzeichnen Sie die Näherung und verwenden Sie ausreichende Genauigkeit. Der Graph hilft bei der Wahl geeigneter Startintervalle für das numerische Verfahren.
Häufige Fehler
- Die Ränder des Ansichtsfensters als Integrationsgrenzen verwenden.
- Unten minus oben rechnen und einen negativen Flächeninhalt akzeptieren.
- Einen inneren Schnittpunkt übersehen, an dem die Kurven ihre Reihenfolge wechseln.
- Nach x integrieren, obwohl eine Integration nach y wesentlich einfacher wäre.
- Annehmen, jedes optisch begrenzt wirkende Gebiet habe einen endlichen Flächeninhalt.
- Schnittwerte zu früh runden.
Wenn das Gebiet rotiert werden soll, fahren Sie mit Scheiben-, Ringscheiben- und Zylinderschalenmethode fort. Zur grafischen Konstruktion lesen Sie das Schraffieren zwischen zwei Kurven.