A área entre duas curvas é obtida integrando a separação vertical ou horizontal no intervalo em que a região é limitada. O gráfico é valioso porque mostra qual curva está acima da outra e se a região precisa ser dividida.
1. Fórmula com fatias verticais
Se \(y=f(x)\) está acima de \(y=g(x)\) para \(a\le x\le b\), então
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
O integrando é “superior menos inferior”, portanto representa uma altura vertical não negativa.
2. Exemplo resolvido: reta e parábola
Calcule a área limitada por
\[y=2x\qquad\text{e}\qquad y=x^2.\]
Primeiro, encontre as interseções:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
Em \([0,2]\), a reta está acima da parábola porque, por exemplo, em \(x=1\), \(2x=2>1=x^2\). Portanto,
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Confira visualmente a região
Abra a ferramenta Sombreamento de Gráficos, represente 2*x e x^2 e sombreie a região entre elas de 0 a 2. A imagem sombreada deve coincidir com os limites da integral e com a ordem superior menos inferior.
4. Quando as curvas trocam de posição
Se \(f-g\) muda de sinal dentro do intervalo, uma única integral de \(f-g\) fornece área algébrica e pode haver cancelamento. Divida em cada interseção:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
Na prática, determine separadamente a curva superior em cada subintervalo e elimine o valor absoluto usando a ordem correta.
5. Fatias horizontais
Algumas regiões são mais fáceis de descrever com x como função de y. Se \(x=R(y)\) é a fronteira direita e \(x=L(y)\) é a fronteira esquerda para \(c\le y\le d\), então
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Fatias horizontais são úteis quando fatias verticais exigiriam várias integrais separadas.
6. Regiões impróprias ou ilimitadas
Uma região próxima a uma assíntota vertical pode exigir uma integral imprópria. Um gráfico que parece encerrar uma cauda fina não garante área finita. Substitua o extremo assintótico por um limite variável e teste a convergência antes de apresentar um valor.
7. Respostas numéricas e exatas
Use interseções exatas sempre que possível. Se as equações se encontram em valores não elementares, métodos numéricos para raízes e integração podem ser adequados, mas indique a aproximação e use precisão suficiente. O gráfico ajuda a escolher intervalos iniciais para o método numérico.
Erros comuns
- Usar as bordas da janela de visualização como limites de integração.
- Subtrair inferior menos superior e aceitar uma área negativa.
- Não perceber uma interseção interna onde as curvas trocam de posição.
- Integrar em x quando integrar em y seria muito mais simples.
- Supor que toda região que parece limitada no gráfico tem área finita.
- Arredondar os valores de interseção cedo demais.
Para girar a região, continue com os métodos dos discos, anéis e cascas cilíndricas. Para a construção gráfica, veja como sombrear entre duas curvas.