Площадь между двумя кривыми находят интегрированием их вертикального или горизонтального расстояния на промежутке, где область ограничена. График показывает, какая кривая расположена выше и нужно ли разбивать область на части.
1. Формула для вертикальных сечений
Если \(y=f(x)\) расположена выше \(y=g(x)\) при \(a\le x\le b\), то
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
Подынтегральное выражение — «верхняя функция минус нижняя», то есть неотрицательная вертикальная высота.
2. Пример: прямая и парабола
Найдём площадь, ограниченную
\[y=2x\qquad\text{и}\qquad y=x^2.\]
Сначала найдём точки пересечения:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
На \([0,2]\) прямая выше параболы: например, при \(x=1\) имеем \(2x=2>1=x^2\). Поэтому
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Проверьте область визуально
Откройте инструмент заливки графиков, постройте 2*x и x^2, затем закрасьте область между ними от 0 до 2. Рисунок должен соответствовать пределам интегрирования и порядку «верхняя минус нижняя».
4. Когда кривые меняются местами
Если \(f-g\) меняет знак внутри интервала, один интеграл от \(f-g\) даёт ориентированную площадь, и части могут взаимно уничтожиться. Разбейте интеграл во всех точках пересечения:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
На практике отдельно определите верхнюю кривую на каждом подынтервале и уберите модуль, записав разность в правильном порядке.
5. Горизонтальные сечения
Некоторые области проще описывать, выражая x через y. Если \(x=R(y)\) — правая граница, а \(x=L(y)\) — левая при \(c\le y\le d\), то
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Горизонтальные сечения удобны, когда вертикальные потребовали бы нескольких интегралов.
6. Несобственные или неограниченные области
Область около вертикальной асимптоты может требовать несобственного интеграла. То, что на рисунке виден тонкий ограниченный «хвост», ещё не гарантирует конечную площадь. Замените асимптотическую границу переменным пределом и проверьте сходимость.
7. Численный и точный ответ
По возможности используйте точные точки пересечения. Если уравнения пересекаются в значениях, не выражаемых элементарно, допустимы численное нахождение корней и численное интегрирование, но следует указать, что ответ приближённый, и взять достаточную точность. График помогает выбрать начальные интервалы для численного метода.
Типичные ошибки
- Использование краёв окна просмотра как пределов интегрирования.
- Вычитание верхней функции из нижней и принятие отрицательного результата за площадь.
- Пропуск внутренней точки пересечения, где кривые меняются местами.
- Интегрирование по x, когда интегрирование по y значительно проще.
- Предположение, что всякая визуально ограниченная область имеет конечную площадь.
- Слишком раннее округление координат пересечения.
Если область будет вращаться, перейдите к методам дисков, шайб и цилиндрических оболочек. Построение области описано в статье о заливке между двумя кривыми.