L’aire entre deux courbes se calcule en intégrant leur écart vertical ou horizontal sur l’intervalle où la région est bornée. Un graphique est précieux, car il montre quelle courbe se trouve au-dessus et si la région doit être découpée.
1. Formule avec des tranches verticales
Si \(y=f(x)\) est au-dessus de \(y=g(x)\) pour \(a\le x\le b\), alors
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
L’intégrande est « fonction du haut moins fonction du bas » ; il représente donc une hauteur verticale non négative.
2. Exemple : une droite et une parabole
Calculons l’aire délimitée par
\[y=2x\qquad\text{et}\qquad y=x^2.\]
Déterminons d’abord les intersections :
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
Sur \([0,2]\), la droite est au-dessus de la parabole car, par exemple en \(x=1\), \(2x=2>1=x^2\). Ainsi
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Vérifier visuellement la région
Ouvrez l’outil de coloriage de régions, tracez 2*x et x^2, puis coloriez la région comprise entre elles de 0 à 2. L’image colorée doit correspondre aux bornes de l’intégrale et à l’ordre « haut moins bas ».
4. Lorsque les courbes changent d’ordre
Si \(f-g\) change de signe dans l’intervalle, une seule intégrale de \(f-g\) donne une aire algébrique et certaines parties peuvent se compenser. Découpez à chaque intersection :
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
En pratique, identifiez séparément la courbe supérieure sur chaque sous-intervalle et supprimez la valeur absolue en utilisant le bon ordre de soustraction.
5. Tranches horizontales
Certaines régions sont plus simples à décrire avec x comme fonction de y. Si \(x=R(y)\) est la frontière droite et \(x=L(y)\) la frontière gauche pour \(c\le y\le d\), alors
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Les tranches horizontales sont utiles lorsque des tranches verticales exigeraient plusieurs intégrales distinctes.
6. Régions impropres ou non bornées
Une région proche d’une asymptote verticale peut nécessiter une intégrale impropre. Un graphique qui semble enfermer une queue très fine ne garantit pas une aire finie. Remplacez l’extrémité asymptotique par une limite variable et vérifiez la convergence avant de donner un nombre.
7. Résultats numériques ou exacts
Utilisez des intersections exactes lorsque c’est possible. Si les équations se rencontrent en des valeurs non élémentaires, une recherche numérique des racines et une intégration numérique peuvent convenir, mais indiquez qu’il s’agit d’une approximation et conservez une précision suffisante. Le graphique aide à choisir les intervalles de départ du solveur numérique.
Erreurs fréquentes
- Utiliser les bords de la fenêtre d’affichage comme bornes d’intégration.
- Soustraire la fonction du haut à celle du bas et accepter une aire négative.
- Oublier une intersection intérieure où les courbes changent d’ordre.
- Intégrer par rapport à x alors qu’une intégration par rapport à y serait beaucoup plus simple.
- Supposer que toute région visuellement bornée possède une aire finie.
- Arrondir trop tôt les valeurs d’intersection.
Pour une région destinée à être mise en rotation, continuez avec les méthodes des disques, des rondelles et des coquilles. Pour la construction graphique, consultez le coloriage de la région entre deux courbes.