Diện tích giữa hai đường cong được tính bằng cách lấy tích phân khoảng cách thẳng đứng hoặc nằm ngang giữa chúng trên khoảng tạo thành miền bị chặn. Đồ thị rất hữu ích vì cho biết đường nào nằm trên và miền có cần chia nhỏ hay không.
1. Công thức lát cắt thẳng đứng
Nếu \(y=f(x)\) nằm trên \(y=g(x)\) với \(a\le x\le b\), thì
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
Hàm dưới dấu tích phân là “trên trừ dưới”, nên biểu diễn chiều cao thẳng đứng không âm.
2. Ví dụ: đường thẳng và parabol
Tính diện tích miền được giới hạn bởi
\[y=2x\qquad\text{và}\qquad y=x^2.\]
Trước hết tìm giao điểm:
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
Trên \([0,2]\), đường thẳng nằm trên parabol vì chẳng hạn tại \(x=1\), \(2x=2>1=x^2\). Do đó
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. Kiểm tra miền bằng hình vẽ
Mở công cụ Tô miền đồ thị, vẽ 2*x và x^2, rồi tô miền giữa chúng từ 0 đến 2. Hình tô phải khớp với cận tích phân và thứ tự trên trừ dưới.
4. Khi hai đường đổi thứ tự
Nếu \(f-g\) đổi dấu bên trong khoảng, một tích phân duy nhất của \(f-g\) cho diện tích có dấu và các phần có thể triệt tiêu nhau. Hãy chia tại mọi giao điểm:
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
Trong thực tế, hãy xác định riêng đường trên ở từng khoảng con và bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách sắp thứ tự phép trừ cho đúng.
5. Lát cắt nằm ngang
Một số miền dễ mô tả hơn khi xem x là hàm của y. Nếu \(x=R(y)\) là biên phải và \(x=L(y)\) là biên trái với \(c\le y\le d\), thì
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
Lát cắt ngang hữu ích khi lát cắt đứng đòi hỏi phải tách thành nhiều tích phân.
6. Miền suy rộng hoặc không bị chặn
Miền gần tiệm cận đứng có thể cần tích phân suy rộng. Một đồ thị trông như khép kín một đuôi mảnh không bảo đảm diện tích hữu hạn. Hãy thay đầu mút tiệm cận bằng một giới hạn biến thiên và kiểm tra hội tụ trước khi nêu kết quả.
7. Kết quả gần đúng và kết quả chính xác
Hãy dùng giao điểm chính xác khi có thể. Nếu các phương trình gặp nhau tại những giá trị không biểu diễn được bằng hàm sơ cấp, có thể dùng tìm nghiệm số và tích phân số, nhưng cần ghi rõ đó là giá trị gần đúng và dùng đủ độ chính xác. Đồ thị giúp chọn khoảng ban đầu cho bộ giải số.
Lỗi thường gặp
- Dùng mép cửa sổ quan sát làm cận tích phân.
- Lấy dưới trừ trên rồi chấp nhận diện tích âm.
- Bỏ sót giao điểm bên trong nơi hai đường đổi thứ tự.
- Tích phân theo x khi tích phân theo y đơn giản hơn nhiều.
- Cho rằng mọi miền nhìn có vẻ bị chặn đều có diện tích hữu hạn.
- Làm tròn giao điểm quá sớm.
Với miền sẽ được quay, hãy đọc tiếp phương pháp đĩa, vòng đệm và vỏ trụ. Để dựng hình, xem cách tô miền giữa hai đường cong.