วิธีหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นหาได้จากการหาปริพันธ์ของระยะห่างในแนวตั้งหรือแนวนอนตลอดช่วงที่บริเวณถูกปิดล้อม กราฟมีประโยชน์เพราะแสดงว่าเส้นโค้งใดอยู่ด้านบน และบริเวณนั้นต้องแบ่งเป็นหลายส่วนหรือไม่

1. สูตรสำหรับแถบแนวตั้ง

ถ้า \(y=f(x)\) อยู่เหนือ \(y=g(x)\) เมื่อ \(a\le x\le b\) แล้ว

\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]

อินทิกรนด์คือ “ด้านบนลบด้านล่าง” จึงแทนความสูงในแนวตั้งที่ไม่เป็นลบ

2. ตัวอย่าง: เส้นตรงและพาราโบลา

หาพื้นที่ที่ถูกล้อมด้วย

\[y=2x\qquad\text{และ}\qquad y=x^2.\]

หาจุดตัดก่อน:

\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]

บน \([0,2]\) เส้นตรงอยู่เหนือพาราโบลา เพราะตัวอย่างเช่นที่ \(x=1\), \(2x=2>1=x^2\) ดังนั้น

\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]

3. ตรวจสอบบริเวณด้วยภาพ

เปิด เครื่องมือระบายพื้นที่กราฟ วาด 2*x และ x^2 แล้วระบายพื้นที่ระหว่างกราฟตั้งแต่ 0 ถึง 2 ภาพที่ระบายควรตรงกับขอบเขตปริพันธ์และลำดับบนลบล่าง

4. เมื่อเส้นโค้งสลับตำแหน่งกัน

ถ้า \(f-g\) เปลี่ยนเครื่องหมายภายในช่วง ปริพันธ์เดียวของ \(f-g\) จะให้พื้นที่มีเครื่องหมายและอาจหักล้างกัน ให้แบ่งที่ทุกจุดตัด:

\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]

ในการคำนวณจริง ให้หาเส้นโค้งด้านบนแยกกันในแต่ละช่วงย่อย แล้วตัดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกโดยจัดลำดับการลบให้ถูกต้อง

5. แถบแนวนอน

บางบริเวณอธิบายได้ง่ายกว่าด้วย x เป็นฟังก์ชันของ y ถ้า \(x=R(y)\) เป็นขอบขวาและ \(x=L(y)\) เป็นขอบซ้ายสำหรับ \(c\le y\le d\) แล้ว

\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]

แถบแนวนอนมีประโยชน์เมื่อแถบแนวตั้งต้องแบ่งเป็นปริพันธ์หลายชุด

6. บริเวณไม่แท้หรือไม่มีขอบเขต

บริเวณใกล้เส้นกำกับแนวตั้งอาจต้องใช้ปริพันธ์ไม่แท้ กราฟที่ดูเหมือนล้อมหางบาง ๆ ไม่ได้รับประกันว่าพื้นที่จะมีค่าจำกัด ให้แทนปลายเขตที่เป็นเส้นกำกับด้วยลิมิตตัวแปร และตรวจสอบการลู่เข้าก่อนรายงานคำตอบ

7. คำตอบเชิงตัวเลขกับคำตอบแบบแน่นอน

ใช้จุดตัดแบบแน่นอน เมื่อทำได้ หากสมการตัดกันที่ค่าซึ่งเขียนด้วยฟังก์ชันมูลฐานไม่ได้ อาจใช้การหารากเชิงตัวเลขและปริพันธ์เชิงตัวเลข แต่ต้องระบุว่าเป็นค่าประมาณและใช้ความละเอียดเพียงพอ กราฟช่วยเลือกช่วงเริ่มต้นสำหรับตัวแก้เชิงตัวเลข

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ใช้ขอบหน้าต่างแสดงผลเป็นขอบเขตปริพันธ์
• ลบด้านล่างออกจากด้านบนผิดลำดับ แล้วรับคำตอบพื้นที่เป็นลบ
• พลาดจุดตัดภายในที่เส้นโค้งสลับตำแหน่งกัน
• ใช้ปริพันธ์ตาม x ทั้งที่ปริพันธ์ตาม y ง่ายกว่ามาก
• คิดว่าบริเวณที่ดูเหมือนถูกล้อมด้วยภาพทุกบริเวณมีพื้นที่จำกัด
• ปัดค่าจุดตัดเร็วเกินไป

สำหรับบริเวณที่จะหมุน ให้อ่านต่อเรื่อง วิธีจาน วิธีวงแหวน และวิธีเปลือกทรงกระบอก ส่วนการสร้างกราฟ ให้อ่าน วิธีระบายพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น