दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल उस अंतराल पर उनके ऊर्ध्व या क्षैतिज अंतर को समाकलित करके मिलता है जहाँ क्षेत्र सीमाबद्ध हो। आलेख यह दिखाता है कि कौन-सा वक्र ऊपर है और क्षेत्र को विभाजित करना आवश्यक है या नहीं।

1. ऊर्ध्व पट्टी का सूत्र

यदि \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) के ऊपर है जब \(a\le x\le b\), तो

\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]

समाकलनीय “ऊपरी घटा निचला” है, इसलिए यह अऋणात्मक ऊर्ध्व ऊँचाई दर्शाता है।

2. उदाहरण: रेखा और परवलय

इनसे घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें

\[y=2x\qquad\text{और}\qquad y=x^2.\]

पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें:

\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]

\([0,2]\) पर रेखा परवलय के ऊपर है; उदाहरणतः \(x=1\) पर \(2x=2>1=x^2\)। अतः

\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]

3. क्षेत्र को दृश्य रूप से सत्यापित करें

ग्राफ़ शेडिंग उपकरण खोलें, 2*x और x^2 बनाएँ तथा 0 से 2 तक उनके बीच का क्षेत्र छायांकित करें। छायांकित चित्र को समाकल की सीमाओं और ऊपरी-घटा-निचला क्रम से मेल खाना चाहिए।

4. जब वक्र अपना क्रम बदलें

यदि अंतराल के भीतर \(f-g\) का चिह्न बदलता है, तो \(f-g\) का एक समाकल चिह्नित क्षेत्रफल देगा और भाग एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं। हर प्रतिच्छेद पर विभाजित करें:

\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]

व्यवहार में हर उप-अंतराल पर ऊपरी वक्र अलग से निर्धारित करें और सही क्रम अपनाकर निरपेक्ष मान हटाएँ।

5. क्षैतिज पट्टियाँ

कुछ क्षेत्रों को y के फलन के रूप में x से लिखना सरल होता है। यदि \(x=R(y)\) दायीं सीमा और \(x=L(y)\) बायीं सीमा है जब \(c\le y\le d\), तो

\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]

क्षैतिज पट्टियाँ तब उपयोगी हैं जब ऊर्ध्व पट्टियों से कई अलग समाकल बनाने पड़ें।

6. अनंत या असीमित क्षेत्र

ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी के निकट क्षेत्र के लिए अनुचित समाकल आवश्यक हो सकता है। आलेख में पतली पूँछ से घिरा दिखने वाला क्षेत्र आवश्यक नहीं कि परिमित हो। अनंतस्पर्शी सीमा को चर सीमा से बदलें और संख्या बताने से पहले अभिसरण जाँचें।

7. संख्यात्मक और यथार्थ उत्तर

जहाँ संभव हो यथार्थ प्रतिच्छेद लें। यदि समीकरण गैर-प्रारंभिक मानों पर मिलते हों, तो संख्यात्मक मूल-निर्धारण और समाकलन उपयुक्त हो सकते हैं; पर सन्निकटन स्पष्ट लिखें और पर्याप्त परिशुद्धता रखें। आलेख संख्यात्मक हल के लिए शुरुआती अंतराल चुनने में सहायक है।

सामान्य त्रुटियाँ

• दृश्य-विंडो की किनारियों को समाकल सीमाएँ मानना।
• निचला घटा ऊपरी करके ऋणात्मक क्षेत्रफल स्वीकार करना।
• भीतरी प्रतिच्छेद चूकना जहाँ वक्र क्रम बदलते हैं।
• जहाँ y के सापेक्ष समाकल सरल हो वहाँ x के सापेक्ष समाकल करना।
• दिखने में सीमाबद्ध हर क्षेत्र को परिमित क्षेत्रफल वाला मानना।
• प्रतिच्छेद मानों को बहुत जल्दी पूर्णांकित करना।

क्षेत्र को घुमाना हो तो चक्रिका, वलयिका और बेलनाकार खोल विधियाँ पढ़ें। आलेख निर्माण के लिए दो वक्रों के बीच छायांकन देखें।