चक्रिका, वलयिका और बेलनाकार खोल विधियाँ सभी घूर्णन ठोस का आयतन निकालती हैं। सर्वोत्तम विधि सामान्यतः वही है जो क्षेत्र को सबसे कम भागों और सबसे सरल सीमा-फलनों से व्यक्त करे।
1. चक्रिका विधि
चक्रिका ऐसी वलयिका है जिसकी आंतरिक त्रिज्या शून्य हो। यदि \(y=R(x)\) के नीचे का क्षेत्र x-अक्ष के चारों ओर घुमाया जाए, तो
\[V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx.\]
उदाहरण: \(y=\sqrt{x}\) के नीचे का क्षेत्र \(x=0\) से \(x=4\) तक x-अक्ष के चारों ओर घुमाएँ:
\[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi.\]
2. वलयिका विधि
वलयिका की बाहरी त्रिज्या \(R\) और आंतरिक त्रिज्या \(r\) होती है:
\[V=\pi\int_a^b\left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.\]
जब घूर्णन-अक्ष पर लंब पट्टियाँ छिद्रयुक्त वलय बनाएँ, तब वलयिका विधि उपयोग करें। अक्ष स्थानांतरित हो तो दूरियाँ अक्ष से मापें; केवल y-मानों को त्रिज्या न मान लें।
उदाहरणतः \(y=2\) और \(y=x\) के बीच का क्षेत्र \([0,2]\) पर x-अक्ष के चारों ओर घुमाने पर
\[V=\pi\int_0^2(2^2-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}.\]
3. बेलनाकार खोल विधि
y-अक्ष के चारों ओर घूमी ऊर्ध्व पट्टी बेलनाकार खोल बनाती है। इसका आयतन-तत्व परिधि × ऊँचाई × मोटाई है:
\[V=2\pi\int_a^b(\text{त्रिज्या})(\text{ऊँचाई})\,dx.\]
y-अक्ष के चारों ओर घूर्णन में त्रिज्या प्रायः x होती है। स्थानांतरित ऊर्ध्व रेखा \(x=c\) के चारों ओर त्रिज्या \(|x-c|\) जैसी दूरी होती है।
4. उसी क्षेत्र पर वलयिकाओं और खोलों की तुलना
\(y=2x\) और \(y=x^2\) के बीच का क्षेत्र \(0\le x\le2\) पर y-अक्ष के चारों ओर घुमाएँ।
खोल: त्रिज्या \(x\), ऊँचाई \(2x-x^2\):
\[V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx=\frac{8\pi}{3}.\]
वलयिकाएँ: x को y के रूप में हल करें। दायीं सीमा \(x=\sqrt{y}\), बायीं सीमा \(x=y/2\) और \(0\le y\le4\):
\[V=\pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2-\left(\frac y2\right)^2\right]dy=\frac{8\pi}{3}.\]
दोनों सही हैं, पर खोल-विन्यास में दोनों वक्रों को x के लिए हल नहीं करना पड़ता और वह छोटा है।
5. व्यावहारिक निर्णय नियम
| प्रश्न | संभावित विधि |
|---|---|
| क्या लंबवत पट्टियाँ ठोस वृत्त बनाती हैं? | चक्रिकाएँ |
| क्या लंबवत पट्टियाँ छिद्रयुक्त वलय बनाती हैं? | वलयिकाएँ |
| क्या समानांतर पट्टियाँ सरल ऊँचाई वाले बेलन बनाती हैं? | खोल |
| क्या एक विधि में दूसरे चर के लिए हल करना पड़ेगा? | दूसरी विधि आज़माएँ |
| क्या क्षेत्र की सीमा बीच में बदलती है? | कम विभाजित समाकलों वाली विधि चुनें |
6. स्थानांतरित अक्ष
\(y=k\) के चारों ओर घूर्णन में त्रिज्याएँ \(|f(x)-k|\) जैसी ऊर्ध्व दूरियाँ हैं। \(x=c\) के चारों ओर खोल-त्रिज्याएँ \(|x-c|\) जैसी क्षैतिज दूरियाँ हैं। अक्ष को स्पष्ट खींचने से चिह्न और त्रिज्या की त्रुटियाँ बचती हैं।
7. समाकलन से पहले दृश्यांकन करें
जनक क्षेत्र, अक्ष, बाहरी और आंतरिक सतहें तथा प्रतिनिधि अनुप्रस्थ काट देखने के लिए घूर्णन ठोस दृश्यकार का उपयोग करें। दृश्यांकन कलन-विन्यास का विकल्प नहीं है, पर गलत त्रिज्या या अनपेक्षित अक्ष पहचानना आसान करता है।
सामान्य त्रुटियाँ
- अक्ष स्थानांतरित होने पर फलन-मानों को ही त्रिज्या मानना।
- बाहरी और आंतरिक त्रिज्याएँ उलट देना।
- खोल विधि में \(2\pi\) गुणक भूलना।
- खोल की ऊँचाई को “ऊपरी जोड़ निचला” लेना, ऊपरी घटा निचला नहीं।
- dy समाकल के साथ x-सीमाएँ या dx समाकल के साथ y-सीमाएँ मिलाना।
- क्षेत्र का रेखाचित्र बनाए बिना विधि चुनना।
घुमाया क्षेत्र स्थापित करने से पहले वक्रों के बीच क्षेत्रफल दोहराएँ और प्रारंभिक घूर्णन ठोस मार्गदर्शिका से तुलना करें।